😍 لوگارتھم کیلکولیٹر

ریاضی اور دیگر عین سائنس میں، لوگارتھمز بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں - ایسے افعال جو کسی طاقت کو بڑھانے کے الٹا ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، 1000 میں سے 10 کا لوگارتھم 3 کے برابر ہے، کیونکہ ایک ہزار حاصل کرنے کے لیے، 10 کو کیوبڈ ہونا ضروری ہے، اور 16 میں سے 2 کا لاگرتھم 4 کے برابر ہے، کیونکہ 16 2 سے چوتھی طاقت ہے۔

لوگارتھمز پیچیدہ ریاضیاتی حسابات کو بہت آسان بنا دیتے ہیں، کیونکہ ان کا استعمال کفایت شعاری سے ضرب اور تقسیم کے طور پر ظاہر کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔

لوگارتھمز کے علاوہ، ان کے الٹے فنکشنز بھی عین سائنس میں استعمال ہوتے ہیں - اینٹی لوگارتھمز، یا "الٹا لوگارتھمز"۔ x کا antilogarithm potentiation کا نتیجہ ہے، یا ایک عدد جس کا logarithm x کے برابر ہے۔

لوگارتھمز کو فارمولوں میں لاگ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، اور اینٹی لوگارتھمز کو اینٹ لاگ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ یہ عہدہ نہ صرف لوگاریتھمک ٹیبلز میں پایا جا سکتا ہے بلکہ انجینئرنگ کیلکولیٹر کے کی بورڈز پر بھی پایا جا سکتا ہے۔ لیکن آج، ان افعال کو شمار کرنے کے لیے، خاص آن لائن کیلکولیٹر زیادہ کثرت سے استعمال کیے جاتے ہیں - بہت زیادہ آسان اور قابل رسائی۔

لوگارتھمز کی تاریخ

اگرچہ لوگارتھمک فنکشن بہت بعد میں ایجاد ہوا تھا، لیکن اس کی ظاہری شکل کے لیے ضروری شرائط قدیم زمانے سے معلوم کی گئیں۔ مثال کے طور پر، تیسری صدی قبل مسیح میں قدیم یونانی سائنسدان آرکیمیڈیز نے ریاضی اور ہندسی ترقی کے درمیان ایک تعلق قائم کیا، اور قدرتی ایکسپوینٹس کے ساتھ ڈگریوں کی خصوصیات کی چھان بین کی۔

لیکن انٹیجر ایکسپوینٹس کی جدولیں (بیسز 2، 3 اور 4 کے لیے)، جنہیں ان کے جدید معنوں میں لوگارتھمز کہا جا سکتا ہے، صرف 8ویں صدی میں حاصل کیا گیا تھا - ہندوستانی سائنسدان ویراسینا نے۔

جیسے جیسے فلکیات اور نیویگیشن کی ترقی ہوئی، پیچیدہ ریاضیاتی حسابات کو آسان بنانے کے لیے تیزی سے فوری ضرورت پیدا ہوئی: کثیر ہندسوں کی تعداد کو ضرب اور تقسیم کرنا، جڑیں نکالنا، طاقتوں کو بڑھانا۔

1544 میں، جرمن سائنسدان مائیکل سٹیفیل نے لوگاریتھمک ٹیبل مرتب کرکے اس سمت میں ایک فیصلہ کن قدم اٹھایا جسے بعد میں ان کے نام سے منسوب کیا گیا۔ جدولوں کا استعمال کرتے ہوئے ریاضی اور ہندسی پیشرفت کا موازنہ کرنے کا خیال سٹیفیل نے کتاب Arithmetica integra میں بیان کیا، اور نکولائی اوریسمی اور نکولا چوکیٹ کے بعد کے کاموں کی بنیاد بنائی۔

ان کے علاوہ، سکاٹش ریاضی دان جان نیپیئر نے لوگارتھمز کا مطالعہ کیا، جنہوں نے 1614 میں لاطینی زبان میں Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio شائع کیا۔ اس کام میں نہ صرف لوگارتھمک فنکشن کی خصوصیات بیان کی گئی ہیں بلکہ سائنز، کوزائنز اور ٹینجنٹ کے لوگارتھمز کی آٹھ ہندسوں کی جدولیں بھی بیان کی گئی ہیں۔ ایک ورژن کے مطابق، یہ کنیپر تھا جس نے "لوگارتھم" نام کی منظوری دی، جو 17ویں صدی سے اب تک واحد بن گیا ہے اور اس کا کوئی متبادل نہیں ہے۔

سائنس میں اپنی سنجیدہ شراکت کے باوجود، جان کنیپر نے لوگاریتھمک ٹیبلز (چھٹے ہندسوں کے بعد کے نمبروں کے لیے) مرتب کرتے وقت بہت سی غلطیاں کیں، اور ان پر 1620-1624 میں اختلاف ہوا۔

1624 میں، جوہانس کیپلر نے لوگاریتھمک ٹیبلز کا اپنا ورژن چلیاس لوگاریتھمورم ایڈ ٹوٹیڈیم نمبروس روٹنڈوس شائع کیا، اور ایڈمنڈ ونگیٹ اور ولیم اوٹرڈ نے پہلا سلائیڈ رول ایجاد کیا۔ برطانوی سائنسدان ہنری بریگز نے بھی متوازی تحقیق کی، اور 1617 میں اس نے اعشاریہ لوگارتھمز کی 14 ہندسوں والی جدولیں مرتب کیں۔

نیپر کے کام کی طرح، بریگز کی میزیں بھی بعد میں غلطیاں پائی گئیں۔ ابتدائی طور پر، جدول نے 8 اعشاریہ مقامات کے ساتھ 1 سے 1000 تک اعشاریہ لوگارتھمز کو بیان کیا تھا، لیکن دوبارہ گنتی کے بعد ان کی تعداد 14 اعشاریہ تک بڑھ گئی۔ 1783 میں، جارج ویگا نے ایک نظر ثانی شدہ ورژن شائع کیا، اور اس کی بنیاد پر بریمیکر میزیں مرتب کی گئیں - بالکل درست اور غلطی سے پاک۔

یہ لوگارتھمز کی ریڈی میڈ میزیں تھیں جنہوں نے اس ریاضیاتی فنکشن کو اتنا وسیع اور طلب بنایا۔ سب کے بعد، اب، پیچیدہ حسابات کے بجائے، مطلوبہ کالم کو چیک کرنے اور فوری طور پر مطلوبہ نتیجہ حاصل کرنے کے لئے کافی تھا. فرانسیسی ریاضی دان Pierre-Simon Laplace نے کہا کہ لوگارتھمز کی ایجاد نے "فلکیات دان کے کام کو مختصر کر کے، اس کی زندگی کو دوگنا کر دیا۔"

19ویں صدی میں، لوگارتھمز کو پیچیدہ تجزیہ میں استعمال کیا جانا شروع ہوا۔ خاص طور پر، کارل فریڈرک گاس نے 1811 میں لوگارتھمک فنکشن کی کثیر قدر کا ایک نظریہ تیار کیا، جس کی تعریف 1/z کے انٹیگرل کے طور پر کی گئی ہے۔ اور Georg Friedrich Bernhard Riemann نے Logarithms کی بنیاد پر Riemann کی سطحوں کا ایک عمومی نظریہ بنایا۔

آج لوگارتھمز الجبرا، جیومیٹری، فزکس، فلکیات، انجینئرنگ، معاشیات اور بہت سے دوسرے علوم میں استعمال ہوتے ہیں۔ اگر پہلے ان افعال کو دستی طور پر یا لوگارتھمک ٹیبلز کا استعمال کرتے ہوئے شمار کیا جاتا تھا، اور 20 ویں-21 ویں صدی کے آغاز پر - انجینئرنگ کیلکولیٹر کی مدد سے، آج اس مقصد کے لیے کمپیوٹر ٹیکنالوجی کا استعمال کیا جاتا ہے۔ بس مناسب آن لائن کیلکولیٹر چلائیں، اور یہ لوگارتھم کو ایک تقسیم سیکنڈ میں شمار کرے گا!

آج، لوگارتھمک فنکشن استعمال کیا جاتا ہے جہاں بھی ایسے عمل ہوتے ہیں جو وقت کے ساتھ بدلتے ہیں۔ حیاتیات، کیمسٹری، فزکس، الیکٹریکل انجینئرنگ - یہ تمام علوم لوگارتھمز استعمال کرتے ہیں۔ لیکن لوگارتھم معاشیات میں سب سے زیادہ وسیع ہے - ریاضی کے تجزیے کے ایک لازمی حصے کے طور پر۔

تعریف

ریاضی کی تعریف کے مطابق، ایک عدد x کا لوگارتھم ایک اشاریہ ہے جس کی بنیاد b کو x حاصل کرنے کے لیے بڑھانا ضروری ہے۔ دوسرے لفظوں میں، لوگارتھمک فنکشن ایک الٹی طاقت ہے، یا طاقت کا الٹا۔

مثال کے طور پر، ایکسپریشن 2^3 = 8 کو اس طرح دکھایا جا سکتا ہے: log2(8) = 3. 2 طاقت کی بنیاد ہے، 3 ایکسپوننٹ ہے، 8 طاقت کو بڑھانے کا نتیجہ ہے۔ وضاحت کے لیے، ہم دوسری مثالیں درج کر سکتے ہیں:

log3(9) = 2۔
log7(343) = 3.
log2(0.25) = −2۔
log625(125) = 0.75۔

عام طور پر، اظہار loga(b) کو "b to base a" کے لوگارتھم کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔ لوگارتھم لکھتے وقت، یہ ضروری ہے کہ بنیاد کو طاقت کے ساتھ الجھایا نہ جائے۔ اس طرح، اظہار میں لاگ 2(8) = 3، 2 بیس ہے اور 3 پاور ہے۔

لوگارتھمز کی اقسام

لوگارتھمز کی تین اہم اقسام ہیں: قدرتی، اعشاریہ اور بائنری۔

قدرتی

غیر معقول نمبروں کے ساتھ کام کرتے وقت (جسے عدد اور ڈینومینیٹر کے ساتھ ایک عام کسر کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا)، قدرتی لوگارتھم کا استعمال کریں، جس کی بنیاد Euler نمبر (e) 2.71828 کے برابر ہے۔ اس صورت میں لاگ (x) فارم کا معیاری اظہار ln x سے بدل دیا جاتا ہے۔ ln قدرتی لاگرتھم ہے، جس کا عہدہ زیادہ تر انجینئرنگ کیلکولیٹروں پر پایا جا سکتا ہے۔

آپ کو لوگارتھم کو یولر نمبر کے ساتھ جوڑنے کی ضرورت کیوں ہے؟ یہ کفایتی حسابات کو انجام دینے کے لیے ضروری ہے۔ اس طرح، مقداروں کی ایک پوری سیریز وقت کے ساتھ متناسب نہیں، بلکہ تیزی سے بدلتی ہے - بدلتی رفتار کے ساتھ۔

ایکسپوننٹ کا استعمال کرتے ہوئے، آپ بیکٹیریا کے پنروتپادن کے عمل، برف کے گولوں کی افزائش، حیاتیاتی آبادی میں اضافہ، آمدنی میں اضافہ، اور تابکار مادوں کے زوال کو بیان کر سکتے ہیں۔ قدرتی لوگارتھم ہمیں ان مظاہر کو بیان کرنے کی اجازت دیتا ہے۔ مثال کے طور پر، کرسٹل کی ترقی کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے:

e^3 = 20.086۔
e^5 = 148.413۔
e^10 = 22026.466۔

یہاں ای یولر کا مستقل نمبر ہے، اور ڈگری سالوں کی تعداد ہے۔ یعنی 3 سالوں میں کرسٹل بڑھ کر 20.086 کلوگرام ہو جائے گا، 5 سالوں میں 148.413 کلوگرام ہو جائے گا، وغیرہ۔ اسی طرح کے حسابات کسی بھی دوسری کفایتی مقدار کے لیے کیے جا سکتے ہیں۔

اعشاریہ اور بائنری

یہ اقسام اعشاریہ اور بائنری نظاموں میں فارمولوں اور مساوات کی تحریر کو آسان بنانے کے لیے گردش میں متعارف کرائی گئیں۔ اس طرح، اعشاریہ لوگارتھم کی بنیاد ہمیشہ 10 ہوتی ہے۔ اسے log x کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے اور اظہار log10(x) سے مطابقت رکھتا ہے۔ بدلے میں، بائنری لوگارتھم کی بنیاد ہمیشہ 2 ہوتی ہے اور اسے lb x کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسے log2(x) کے طور پر بھی دکھایا جا سکتا ہے۔

پراپرٹیز اور کیلکولیشن فارمولے

لوگارتھمز کے ساتھ کام کرتے وقت، آپ سادگی اور تبدیلی کے فارمولے استعمال کر سکتے ہیں جو متغیر کی کسی بھی قدر کے لیے درست ہیں۔ سب سے مشہور فارمولوں میں درج ذیل شامل ہیں:

لوگا(1) = 0 - ایک کا لوگارتھم ہمیشہ صفر ہوتا ہے۔
loga(a) = 1 - اگر نمبر اور بنیاد ایک دوسرے سے ملتے ہیں تو لوگارتھم ہمیشہ ایک کے برابر ہوتا ہے۔
loga(a^n) = n بنیادی لوگاریتھمک شناخت ہے۔
loga(bc) = loga(b) + loga(c) - اعداد کی مصنوع کا لوگارتھم ان کے لوگارتھمز کے مجموعے کے برابر ہے۔
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - کسی کسر کا لوگارتھم عدد اور ڈینومینیٹر کے لوگارتھم کے درمیان فرق کے برابر ہے۔
loga(b^n) = n × loga(b) - بنیادوں اور دلائل کی ڈگری کو لوگارتھمز سے آگے بڑھایا جا سکتا ہے۔

ان تبدیلی کے اصولوں کو جان کر، آپ مخصوص مسائل میں لوگارتھمز کی قدروں کو آسان اور تلاش کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، آئیے ایکسپریشن lg2 × lb10 کا حساب لگائیں۔ تبدیلی کے بعد ہمیں ملتا ہے: log10(2) × log2(10)۔ ایک بنیاد میں کمی کے بعد ہمیں ملتا ہے:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1۔

لوگارتھمز کے اضافے کے ساتھ ایک اور مثال پر غور کریں: log216(2) + log216(3)۔ تبدیلی کے فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3۔

آخر میں، سادہ اظہار log3(81) کو log3(9 × 9) کے طور پر لکھا جا سکتا ہے اور log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. یعنی، اس بات کا بہت زیادہ امکان ہے کہ کمی کے بعد اظہار میں کوئی لوگاریتھمک فنکشن بھی باقی نہیں رہے گا، اور اسے ایک ایسے نمبر کے طور پر پیش کیا جائے گا جس کا پہلے سے حساب لگایا جا چکا ہے۔

تبدیلی کے فارمولوں کا استعمال کرتے ہوئے، آپ تاثرات کو مختصر کر سکتے ہیں اور انہیں اشارے کی ایک آسان شکل میں کم کر سکتے ہیں، اور تب ہی ان کا حساب کتاب کر سکتے ہیں۔ اگر تبدیلیوں کی درمیانی قدریں آپ کے لیے اہم نہیں ہیں، بلکہ صرف حتمی نتیجہ ہیں، تو آپ کو ہمارا آن لائن کیلکولیٹر استعمال کرنا چاہیے۔ آپ کو صرف اس میں مطلوبہ اقدار درج کرنے کی ضرورت ہے، اور پروگرام ایک سیکنڈ کے ایک حصے میں اعشاریہ، قدرتی یا بائنری لاگرتھم کا حساب لگائے گا!