😍 Logaritmická kalkulačka

V matematike a iných exaktných vedách sa vo veľkej miere používajú logaritmy – funkcie, ktoré sú inverzné k umocňovaniu. Napríklad logaritmus 10 z 1000 sa rovná 3, pretože na získanie tisícky je potrebné 10 násobiť kockou a logaritmus 2 z 16 sa rovná 4, pretože 16 je 2 na štvrtú mocninu.

Logaritmy výrazne zjednodušujú zložité matematické výpočty, pretože sa dajú použiť na vyjadrenie umocňovania a extrakcie odmocniteľa ako násobenia a delenia exponentom.

Okrem logaritmov sa v exaktných vedách používajú aj ich inverzné funkcie – antilogaritmy alebo „inverzné logaritmy“. Antilogaritmus x je výsledkom potenciácie alebo čísla, ktorého logaritmus sa rovná x.

Logaritmy sú vo vzorcoch označené ako log a antilogaritmy sú označené ako logaritmy mravcov. Tieto označenia možno nájsť nielen v logaritmických tabuľkách, ale aj na klávesniciach inžinierskych kalkulačiek. Dnes sa však na výpočet týchto funkcií častejšie používajú špeciálne online kalkulačky – oveľa pohodlnejšie a dostupnejšie.

História logaritmov

Hoci logaritmická funkcia bola vynájdená oveľa neskôr, predpoklady pre jej vznik siahali až do staroveku. Napríklad staroveký grécky vedec Archimedes v 3. storočí pred Kristom vytvoril spojenie medzi aritmetickým a geometrickým postupom a skúmal vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi.

Ale tabuľky celočíselných exponentov (pre základy 2, 3 a 4), ktoré možno v ich modernom zmysle nazvať logaritmy, získal až v 8. storočí indický vedec Virasena.

Ako sa astronómia a navigácia rozvíjali, vyvstala čoraz naliehavejšia potreba zjednodušiť zložité matematické výpočty: násobenie a delenie viacciferných čísel, extrahovanie odmocnín, umocňovanie.

V roku 1544 urobil nemecký vedec Michael Stiefel rozhodujúci krok týmto smerom, keď zostavil logaritmickú tabuľku, ktorá bola neskôr pomenovaná po ňom. Myšlienku porovnávania aritmetických a geometrických postupností pomocou tabuliek opísal Stiefel v knihe Arithmetica integra a vytvoril základ pre nasledujúce práce Nikolaja Oresmeho a Nicoly Chuqueta.

Okrem nich študoval logaritmy aj škótsky matematik John Napier, ktorý v roku 1614 publikoval Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio v latinčine. Táto práca popísala nielen vlastnosti logaritmickej funkcie, ale aj osemmiestne tabuľky logaritmov sínusov, kosínusov a dotyčníc. Podľa jednej verzie to bol Knepper, kto schválil názov „logaritmus“, ktorý sa od 17. storočia stal jediným a nemá inú alternatívu.

Napriek svojim vážnym prínosom pre vedu urobil John Knepper množstvo chýb pri zostavovaní logaritmických tabuliek (pre čísla po šiestej číslici) a boli sporné v rokoch 1620-1624.

V roku 1624 Johannes Kepler zverejnil svoju verziu logaritmických tabuliek Chilias logaritmmorum ad totidem numeros rotundos a Edmund Wingate a William Oughtred vynašli prvé logaritmické pravítko. Britský vedec Henry Briggs tiež uskutočnil paralelný výskum av roku 1617 zostavil 14-miestne tabuľky desiatkových logaritmov.

Tak ako v prípade Knepperovej práce, aj v Briggsových tabuľkách boli následne objavené chyby. Spočiatku tabuľka popisovala desatinné logaritmy od 1 do 1000 s 8 desatinnými miestami, ale po prepočte sa ich počet zvýšil na 14 desatinných miest. V roku 1783 Georg Vega publikoval revidovanú verziu a na jej základe boli zostavené Bremikerove tabuľky - absolútne presné a bez chýb.

Boli to hotové tabuľky logaritmov, vďaka ktorým bola táto matematická funkcia taká rozšírená a žiadaná. Koniec koncov, teraz namiesto zložitých výpočtov stačilo skontrolovať požadovaný stĺpec a okamžite získať požadovaný výsledok. Francúzsky matematik Pierre-Simon Laplace povedal, že vynález logaritmov „skrátením astronómovej práce zdvojnásobil jeho život“.

V 19. storočí sa v komplexnej analýze začali používať logaritmy. Konkrétne Carl Friedrich Gauss v roku 1811 vyvinul teóriu viachodnoty logaritmickej funkcie, definovanej ako integrál 1/z. A Georg Friedrich Bernhard Riemann vytvoril všeobecnú teóriu Riemannových povrchov založenú na logaritmoch.

Dnes sa logaritmy používajú v algebre, geometrii, fyzike, astronómii, inžinierstve, ekonómii a mnohých ďalších vedách. Ak sa predtým tieto funkcie počítali ručne alebo pomocou logaritmických tabuliek a na prelome 20. a 21. storočia - pomocou inžinierskych kalkulačiek, dnes sa na tento účel používa výpočtová technika. Stačí spustiť príslušnú online kalkulačku a tá vypočíta logaritmus v zlomku sekundy!

Logaritmická funkcia sa dnes používa všade tam, kde prebiehajú procesy, ktoré sa časom menia. Biológia, chémia, fyzika, elektrotechnika - všetky tieto vedy používajú logaritmy. Ale logaritmus je najrozšírenejší v ekonómii – ako neoddeliteľná súčasť matematickej analýzy.

Definícia

Podľa matematickej definície je logaritmus čísla x exponent, na ktorý musí byť základ b zvýšený, aby sa získalo x. Inými slovami, logaritmická funkcia je prevrátená mocnina alebo prevrátená mocnina.

Napríklad výraz 2^3 = 8 môže byť reprezentovaný ako: log2(8) = 3. 2 je základ mocniny, 3 je exponent, 8 je výsledok umocnenia. Pre prehľadnosť môžeme uviesť ďalšie príklady:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0,25) = −2.
log625(125) = 0,75.

Výraz loga(b) sa vo všeobecnosti číta ako „logaritmus b na základ a“. Pri písaní logaritmu je dôležité nezamieňať základňu s mocninou. Vo výraze log2(8) = 3 je teda 2 základ a 3 mocnina.

Rôzne logaritmy

Existujú tri hlavné typy logaritmov: prirodzené, desiatkové a binárne.

Prirodzené

Pri práci s iracionálnymi číslami (ktoré nemožno zapísať ako spoločný zlomok s čitateľom a menovateľom) použite prirodzený logaritmus, ktorého základom je Eulerovo číslo (e) rovné 2,71828. Štandardný výraz vo forme loge(x) je v tomto prípade nahradený výrazom ln x. ln je prirodzený logaritmus, ktorého označenie možno nájsť na väčšine inžinierskych kalkulačiek.

Prečo potrebujete skombinovať logaritmus s Eulerovým číslom? To je potrebné na vykonanie exponenciálnych výpočtov. Celý rad veličín sa teda v priebehu času mení nie proporcionálne, ale exponenciálne – s meniacou sa rýchlosťou.

Pomocou exponentu môžete opísať proces rozmnožovania baktérií, rast snehových gúľ, nárast biologických populácií, zvýšenie príjmu a rozpad rádioaktívnych látok. Prirodzený logaritmus nám umožňuje opísať tieto javy. Napríklad rast kryštálov možno vyjadriť takto:

e^3 = 20,086.
e^5 = 148,413.
e^10 = 22 026,466.

Eu je tu Eulerovo konštantné číslo a stupeň je počet rokov. To znamená, že za 3 roky kryštál narastie na 20,086 kilogramov, za 5 rokov - na 148,413 kilogramov atď. Podobné výpočty možno vykonať pre akékoľvek iné exponenciálne veličiny.

Decimálne a binárne

Tieto odrody boli zavedené do obehu, aby sa zjednodušilo písanie vzorcov a rovníc v desiatkových a binárnych systémoch. Dekadický logaritmus má teda vždy základ 10. Označuje sa ako log x a zodpovedá výrazu log10(x). Na druhej strane, binárny logaritmus má vždy základ 2 a je označený ako lb x. Môže byť tiež reprezentovaný ako log2(x).

Vlastnosti a vzorce výpočtu

Pri práci s logaritmami môžete použiť vzorce na zjednodušenie a transformáciu, ktoré sú platné pre ľubovoľné hodnoty premenných. Medzi najobľúbenejšie vzorce patria nasledujúce:

loga(1) = 0 – logaritmus jednotky je vždy nula.
loga(a) = 1 – ak sa číslo a základ zhodujú, logaritmus sa vždy rovná jednej.
loga(a^n) = n je základná logaritmická identita.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) – logaritmus súčinu čísel sa rovná súčtu ich logaritmov.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) – logaritmus zlomku sa rovná rozdielu medzi logaritmami čitateľa a menovateľa.
loga(b^n) = n × loga(b) – stupeň základov a argumentov možno rozšíriť nad rámec logaritmov.

Po znalosti týchto pravidiel transformácie môžete zjednodušiť a nájsť hodnoty logaritmov v konkrétnych problémoch. Vypočítajme napríklad výraz lg2 × lb10. Po transformácii dostaneme: log10(2) × log2(10). Po redukcii na jeden základ dostaneme:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Zvážte ďalší príklad s pridaním logaritmov: log216(2) + log216(3). Pomocou transformačných vzorcov dostaneme:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Napokon, jednoduchý výraz log3(81) možno zapísať ako log3(9 × 9) a vypočítať ako log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. To znamená, že existuje vysoká pravdepodobnosť, že po redukciách nezostanú vo výraze ani žiadne logaritmické funkcie a výraz bude prezentovaný ako číslo, ktoré už bolo vypočítané.

Pomocou konverzných vzorcov môžete skrátiť výrazy a zredukovať ich na jednoduchšiu formu zápisu a až potom vykonať ich výpočet. Ak pre vás nie sú dôležité medzihodnoty transformácií, ale iba konečný výsledok, mali by ste použiť našu online kalkulačku. Stačí do neho zadať požadované hodnoty a program za zlomok sekundy vypočíta desiatkový, prirodzený alebo binárny logaritmus!