😍 Калькулятор логарифмов онлайн

В математике и других точных науках широко применяются логарифмы — функции, обратные возведению в степень. Например, логарифм 10 из 1000 равен 3, так как для получения тысячи 10 нужно возвести в куб, а логарифм 2 из 16 — равен 4, так как 16 — это 2 в четвёртой степени.

Логарифмы значительно упрощают сложные математические вычисления, так как возведение в степень и извлечение корня с их помощью можно представить в виде умножения и деления на показатель степени.

Кроме логарифмов, в точных науках также применяются их обратные функции — антилогарифмы, или «обращённые логарифмы». Антилогарифм числа x — это результат потенцирования, или число, логарифм которого равен числу x.

Логарифмы обозначаются в формулах как log, а антилогарифмы — ant log. Эти обозначения можно встретить не только в логарифмических таблицах, но и на клавиатурах инженерных калькуляторов. Но сегодня для расчёта этих функций чаще используют специальные онлайн-калькуляторы — гораздо более удобные и доступные.

История возникновения логарифмов

Хотя логарифмическую функцию изобрели гораздо позже, предпосылки к её появлению отслеживались ещё во времена Античности. Например, древнегреческий учёный Архимед (Ἀρχιμήδης) в 3 веке до нашей эры установил связь между арифметической и геометрической прогрессией, и исследовал свойства степеней с натуральными показателями.

Но таблицы целочисленных показателей (для оснований 2, 3 и 4), которые можно назвать логарифмами в их современном понимании, были получены только в VIII веке — индийским учёным Вирасеной (वीरसेन).

По мере развития астрономии и мореплавания, возникала всё более острая необходимость упрощать сложные математические вычисления: умножение и деление многозначных чисел, извлечение корней, возведение в степени.

В 1544 году немецкий учёный Михаэль Штифель (Michael Stifel) сделал в этом направлении решающий шаг, составив логарифмическую таблицу, впоследствии названную его именем. Идея сопоставления арифметических и геометрических прогрессий с помощью таблиц была описана Штифелем в книге Arithmetica integra, и легла в основу последующих работ Николая Орема (Nicolas Oresme) и Николы Шюке (Nicolas Chuquet).

Кроме них, изучением логарифмов занимался шотландский математик Джон Непер (John Napier), опубликовавший в 1614 году Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio на латинском языке. В этом труде были описаны не только свойства логарифмической функции, но и восьмизначные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. По одной из версий, именно Неппер утвердил название «логарифм», которое с XVII века стало единственным и безальтернативным.

Несмотря на серьёзный вклад в науку, Джон Неппер допустил ряд ошибок при составлении логарифмических таблиц (для значений чисел после шестого знака), и они были оспорены в 1620–1624 годах.

В 1624 году Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) опубликовал свой вариант логарифмических таблиц Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, а Эдмунд Уингейт (Edmund Wingate) и Уильям Отред (William Oughtred) изобрели первую логарифмическую линейку. Параллельными исследованиями занимался и британский учёный Генри Бригс (Henry Briggs), в 1617 году составивший 14-значные таблицы десятичных логарифмов.

Как и в случае с работами Неппера, в таблицах Бригса тоже впоследствии были обнаружены ошибки. Изначально в таблице были описаны десятичные логарифмы от 1 до 1000 с 8 знаками после запятой, но после перерасчёта их количество возросло до 14 знаков. В 1783 году Георг Вега (Georg Freiherr von Vega) опубликовал доработанную версию, и на её основе были составлены таблицы Бремикера — абсолютно точные и безошибочные.

Именно готовые таблицы логарифмов сделали эту математическую функцию такой распространённой и востребованной. Ведь теперь вместо сложнейших вычислений достаточно было свериться с нужной графой и мгновенно получить нужный результат. Ещё французский математик Пьер-Симон Лаплас (Pierre Simon Laplace) говорил, что изобретение логарифмов «сократив труд астронома, удвоило его жизнь».

В XIX веке логарифмы начали применять в комплексном анализе. В частности, Карл Фридрих Гаусс (Carl Friedrich Gauß) в 1811 году разработал теорию многозначности логарифмической функции, определяемой как интеграл от 1/z. А Георг Фридрих Бернхард Риман (Georg Friedrich Bernhard Riemann) построил на основании логарифмов общую теорию римановых поверхностей.

Сегодня логарифмы применяются в алгебре, геометрии, физике, астрономии, инженерии, экономике и многих других науках. Если раньше эти функции считали вручную или с помощью логарифмических таблиц, а на рубеже XX–XXI веков — с помощью инженерных калькуляторов, то сегодня для этой цели применяют компьютерную технику. Достаточно запустить соответствующий онлайн-калькулятор, и оно посчитает логарифм за доли секунды!

Сегодня логарифмическую функцию применяют везде, где есть процессы, изменяющиеся во времени. Биология, химия, физика, механика, география, астрономия, электротехника — во всех этих науках используют логарифмы. Но наибольшее распространение логарифм получил в экономике — как составляющая часть математического анализа.

Определение

Согласно математическому определению, логарифм числа x — это показатель степени, в которую должно быть возведено основание b для получения x. Иными словами, логарифмическая функция — это перевёрнутая степень или функция, обратная возведению в степень.

Например, выражение 2^3 = 8 можно представить в виде: log2(8) = 3. В данном случае 2 — это основание степени, 3 — показатель степени, а 8 — результат возведения в степень. Для наглядности можно перечислить и другие примеры:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0,25) = −2.
log625(125) = 0,75.

В общем виде выражение loga(b) читается как «логарифм b по основанию a». При записи логарифма важно не перепутать основание со степенью. Так, в выражении log2(8) = 3, 2 — это основание, а 3 — степень.

Разновидности логарифмов

Различают три основных разновидности логарифмов: натуральные, десятичные и двоичные.

Натуральный

При работе с иррациональными числами (которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем) используют натуральный логарифм, основанием которого является число Эйлера (e), равное 2,71828. Стандартное выражение вида loge(x) в данном случае заменяется на ln x. ln — это и есть натуральный логарифм, обозначение которого можно встретить на большинстве инженерных калькуляторов.

Для чего нужно совмещать логарифм с числом Эйлера? Это нужно для проведения экспоненциальных расчётов. Так, целый ряд величин меняется со временем не пропорционально, а экспоненциально — с изменяющейся скоростью.

С помощью экспоненты можно описать процесс размножения бактерий, рост снежных комьев, увеличение биологических популяций, приумножение доходов, распад радиоактивных веществ. Натуральный логарифм позволяет описывать эти (и аналогичные) явления. Например, так можно выразить рост кристаллов:

e^3 = 20,086.
e^5 = 148,413.
e^10 = 22026,466.

Здесь e — постоянное число Эйлера, а степень — количество лет. То есть, за 3 года кристалл вырастет до 20,086 килограмма, за 5 лет — до 148,413 килограмма, и так далее. Аналогичные расчёты можно провести и в отношении любых других экспоненциальных величин.

Десятичный и двоичный

Эти разновидности были введены в обращение для упрощения записи формул и уравнений в десятичных и двоичных системах исчисления. Так, у десятичного логарифма основание всегда равно 10. Он обозначается как lg x и соответствует выражению log10(x). В свою очередь, двоичный логарифм всегда имеет основание 2 и обозначается как lb x. Его также можно представить в виде log2(x).

Свойства и формулы расчёта

При работе с логарифмами можно использовать формулы упрощения и преобразования, действительные при любых значениях переменных. К наиболее востребованным формулам относятся следующие:

loga(1) = 0 — логарифм единицы всегда равен нулю.
loga(a) = 1 — при совпадении числа и основания логарифм всегда равен единице.
loga(a^n) = n — основное логарифмическое тождество.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) — логарифм произведения чисел равен сумме их логарифмов.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) — логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.
loga(b^n) = n × loga(b) — степень оснований и аргументов можно выносить за пределы логарифмов.

Зная эти правила преобразования, можно упрощать и находить значения логарифмов в конкретных задачах. Например, посчитаем выражение lg2 × lb10. После преобразования получим: log10(2) × log2(10). После приведения к единому основанию получим:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Рассмотрим другой пример со сложением логарифмов: log216(2) + log216(3). Используя формулы преобразования, получим:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Наконец, простое выражение log3(81) можно представить в виде log3(9 × 9) и посчитать его как log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. То есть, велика вероятность, что после сокращений в выражении даже не останется логарифмических функций, и оно будет представлено в виде уже посчитанного числа.

Используя формулы преобразования, можно сокращать выражения и приводить их к более простой форме записи, а уже потом проводить их расчёт. Если же для вас не важны промежуточные значения преобразований, а нужен только конечный (числовой) результат, стоит воспользоваться специальным онлайн-калькулятором. В него достаточно ввести нужные значения, и программа посчитает десятичный, натуральный или двоичный логарифм за доли секунды!