😍 Logaritmekalkulator

I matematikk og andre eksakte vitenskaper er logaritmer mye brukt - funksjoner som er det motsatte av å heve til en potens. For eksempel er logaritmen til 10 av 1000 lik 3, siden for å oppnå tusen må 10 være terninger, og logaritmen til 2 av 16 er lik 4, siden 16 er 2 i fjerde potens.

Logaritmer forenkler i stor grad komplekse matematiske beregninger, siden de kan brukes til å uttrykke eksponentiering og rotekstraksjon som multiplikasjon og divisjon med eksponenten.

I tillegg til logaritmer, brukes deres inverse funksjoner også i de eksakte vitenskapene - antilogaritmer, eller "inverse logaritmer". Antilogaritmen til x er resultatet av potensering, eller et tall hvis logaritme er lik x.

Logaritmer er angitt i formler som log, og antilogaritmer er angitt som maur log. Disse betegnelsene finnes ikke bare i logaritmiske tabeller, men også på tastaturene til tekniske kalkulatorer. Men i dag, for å beregne disse funksjonene, brukes spesielle online kalkulatorer oftere - mye mer praktisk og tilgjengelig.

Historien til logaritmene

Selv om den logaritmiske funksjonen ble oppfunnet mye senere, ble forutsetningene for dens utseende sporet tilbake til antikken. For eksempel etablerte den antikke greske vitenskapsmannen Arkimedes på 300-tallet f.Kr. en sammenheng mellom aritmetisk og geometrisk progresjon, og undersøkte egenskapene til grader med naturlige eksponenter.

Men tabeller med heltallseksponenter (for basene 2, 3 og 4), som kan kalles logaritmer i sin moderne forstand, ble oppnådd først på 800-tallet - av den indiske forskeren Virasena.

Ettersom astronomi og navigasjon utviklet seg, oppsto det et stadig mer presserende behov for å forenkle komplekse matematiske beregninger: multiplisere og dele flersifrede tall, trekke ut røtter, heve til potenser.

I 1544 tok den tyske vitenskapsmannen Michael Stiefel et avgjørende skritt i denne retningen ved å sette sammen en logaritmisk tabell som senere ble oppkalt etter ham. Ideen om å sammenligne aritmetiske og geometriske progresjoner ved hjelp av tabeller ble beskrevet av Stiefel i boken Arithmetica integra, og dannet grunnlaget for påfølgende verk av Nikolai Oresme og Nicola Chuquet.

I tillegg til dem studerte den skotske matematikeren John Napier logaritmer, som publiserte Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio på latin i 1614. Dette arbeidet beskrev ikke bare egenskapene til den logaritmiske funksjonen, men også åttesifrede tabeller over logaritmer av sinus, cosinus og tangenter. I følge en versjon var det Knepper som godkjente navnet "logaritme", som siden 1600-tallet har blitt det eneste og ikke har noe alternativ.

Til tross for hans seriøse bidrag til vitenskapen, gjorde John Knepper en rekke feil da han kompilerte logaritmiske tabeller (for tall etter det sjette sifferet), og de ble omstridt i 1620-1624.

I 1624 publiserte Johannes Kepler sin versjon av de logaritmiske tabellene Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, og Edmund Wingate og William Oughtred oppfant den første lysbilderegelen. Den britiske vitenskapsmannen Henry Briggs utførte også parallell forskning, og i 1617 kompilerte han 14-sifrede tabeller med desimallogaritmer.

Som i tilfellet med Kneppers arbeid, ble det også senere oppdaget feil i Briggs' tabeller. Opprinnelig beskrev tabellen desimallogaritmer fra 1 til 1000 med 8 desimaler, men etter omberegning økte antallet til 14 desimaler. I 1783 publiserte Georg Vega en revidert versjon, og på grunnlag av den ble Bremiker-tabellene satt sammen - absolutt nøyaktige og feilfrie.

Det var de ferdiglagde logaritmetabellene som gjorde denne matematiske funksjonen så utbredt og etterspurt. Tross alt, nå, i stedet for komplekse beregninger, var det nok å sjekke den nødvendige kolonnen og umiddelbart få ønsket resultat. Den franske matematikeren Pierre-Simon Laplace sa at oppfinnelsen av logaritmer "ved å forkorte astronomens arbeid, doblet livet hans."

På 1800-tallet begynte logaritmer å bli brukt i kompleks analyse. Spesielt utviklet Carl Friedrich Gauss i 1811 en teori om flerverdien til den logaritmiske funksjonen, definert som integralet av 1/z. Og Georg Friedrich Bernhard Riemann bygget en generell teori om Riemann-overflater basert på logaritmer.

I dag brukes logaritmer i algebra, geometri, fysikk, astronomi, ingeniørfag, økonomi og mange andre vitenskaper. Hvis disse funksjonene tidligere ble beregnet manuelt eller ved hjelp av logaritmiske tabeller, og på begynnelsen av det 20.-21. århundre - ved hjelp av ingeniørkalkulatorer, brukes i dag datateknologi til dette formålet. Bare kjør den aktuelle nettkalkulatoren, så vil den beregne logaritmen på et brøkdel av et sekund!

I dag brukes den logaritmiske funksjonen der det er prosesser som endres over tid. Biologi, kjemi, fysikk, elektroteknikk - alle disse vitenskapene bruker logaritmer. Men logaritmen er mest utbredt i økonomi – som en integrert del av matematisk analyse.

Definisjon

I følge matematisk definisjon er logaritmen til et tall x en eksponent som grunntallet b må heves til for å få x. Med andre ord er en logaritmisk funksjon en invertert potens, eller invers av en potens.

For eksempel kan uttrykket 2^3 = 8 representeres som: log2(8) = 3. 2 er grunnen til potensen, 3 er eksponenten, 8 er resultatet av å heve til potensen. For klarhetens skyld kan vi liste opp andre eksempler:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0.25) = −2.
log625(125) = 0,75.

Generelt leses uttrykket loga(b) som "logaritmen av b til grunn a." Når du skriver en logaritme, er det viktig å ikke forveksle grunntallet med potensen. I uttrykket log2(8) = 3, er 2 grunntallet og 3 er potensen.

Variater av logaritmer

Det er tre hovedtyper av logaritmer: naturlig, desimal og binær.

Naturlig

Når du arbeider med irrasjonelle tall (som ikke kan skrives som en felles brøk med en teller og en nevner), bruk den naturlige logaritmen, hvis basis er Euler-tallet (e) lik 2,71828. Standarduttrykket for formen loge(x) er i dette tilfellet erstattet med ln x. ln er den naturlige logaritmen, hvis betegnelse finnes på de fleste tekniske kalkulatorer.

Hvorfor trenger du å kombinere logaritmen med Euler-tallet? Dette er nødvendig for å utføre eksponentielle beregninger. Dermed endres en hel rekke mengder over tid, ikke proporsjonalt, men eksponentielt - med en skiftende hastighet.

Ved å bruke eksponenten kan du beskrive prosessen med bakteriell reproduksjon, veksten av snøballer, en økning i biologiske populasjoner, en økning i inntekt og forfallet av radioaktive stoffer. Den naturlige logaritmen lar oss beskrive disse fenomenene. For eksempel kan krystallvekst uttrykkes på denne måten:

e^3 = 20.086.
e^5 = 148.413.
e^10 = 22026.466.

Her er e Eulers konstante tall, og graden er antall år. Det vil si at om 3 år vil krystallen vokse til 20,086 kilo, om 5 år - til 148,413 kilo, og så videre. Lignende beregninger kan utføres for alle andre eksponentielle størrelser.

Desimal og binær

Disse variantene ble introdusert i sirkulasjon for å forenkle skrivingen av formler og ligninger i desimal- og binære systemer. Dermed har desimallogaritmen alltid grunntallet 10. Den er betegnet som log x og tilsvarer uttrykket log10(x). På sin side har den binære logaritmen alltid en base på 2 og er betegnet som lb x. Den kan også representeres som log2(x).

Egenskaper og beregningsformler

Når du arbeider med logaritmer, kan du bruke forenklings- og transformasjonsformler som er gyldige for alle verdier av variablene. De mest populære formlene inkluderer følgende:

loga(1) = 0 - logaritmen til én er alltid null.
loga(a) = 1 - hvis tallet og grunntallet faller sammen, er logaritmen alltid lik én.
loga(a^n) = n er den grunnleggende logaritmiske identiteten.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) - logaritmen til produktet av tall er lik summen av deres logaritmer.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - logaritmen til en brøk er lik forskjellen mellom logaritmene til telleren og nevneren.
loga(b^n) = n × loga(b) - graden av baser og argumenter kan utvides utover logaritmer.

Når du kjenner til disse transformasjonsreglene, kan du forenkle og finne verdiene til logaritmer i spesifikke problemer. La oss for eksempel beregne uttrykket lg2 × lb10. Etter transformasjon får vi: log10(2) × log2(10). Etter reduksjon til en enkelt base får vi:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Vurder et annet eksempel med tillegg av logaritmer: log216(2) + log216(3). Ved å bruke transformasjonsformlene får vi:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Til slutt kan det enkle uttrykket log3(81) skrives som log3(9 × 9) og beregnes som log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. Det vil si at det er stor sannsynlighet for at det etter reduksjonene ikke en gang vil være noen logaritmiske funksjoner igjen i uttrykket, og det vil bli presentert som et tall som allerede er beregnet.

Ved å bruke konverteringsformler kan du forkorte uttrykk og redusere dem til en enklere form for notasjon, og først da utføre beregningen deres. Hvis mellomverdiene til transformasjonene ikke er viktige for deg, men bare det endelige resultatet, bør du bruke vår online kalkulator. Du trenger bare å legge inn de nødvendige verdiene i den, og programmet vil beregne desimal, naturlig eller binær logaritme på en brøkdel av et sekund!