😍 ლოგარითმის კალკულატორი

მათემატიკასა და სხვა ზუსტ მეცნიერებებში ფართოდ გამოიყენება ლოგარითმები - ფუნქციები, რომლებიც ძალამდე აწევის ინვერსიულია. მაგალითად, 1000-დან 10-ის ლოგარითმი 3-ის ტოლია, რადგან ათასის მისაღებად 10 უნდა იყოს კუბური, ხოლო 2-ის ლოგარითმი 16-დან 4-ის ტოლია, რადგან 16 არის 2 მეოთხე ხარისხზე.

ლოგარითმები მნიშვნელოვნად ამარტივებს კომპლექსურ მათემატიკურ გამოთვლებს, რადგან მათი გამოყენება შესაძლებელია ექსპონენტაციისა და ფესვის ამოღების გამოსასახავად, როგორც გამრავლება და გაყოფა მაჩვენებლებზე.

გარდა ლოგარითმებისა, მათი შებრუნებული ფუნქციები ასევე გამოიყენება ზუსტ მეცნიერებებში - ანტილოგარითმები, ანუ „შებრუნებული ლოგარითმები“. x-ის ანტილოგარითმი არის პოტენციაციის შედეგი, ან რიცხვი, რომლის ლოგარითმი x-ის ტოლია.

ლოგარითმები ფორმულებში აღინიშნება როგორც log, ხოლო ანტილოგარითმები აღინიშნება როგორც ant log. ეს აღნიშვნები შეგიძლიათ იხილოთ არა მხოლოდ ლოგარითმულ ცხრილებში, არამედ საინჟინრო კალკულატორების კლავიატურებზე. მაგრამ დღეს ამ ფუნქციების გამოსათვლელად უფრო ხშირად გამოიყენება სპეციალური ონლაინ კალკულატორები - ბევრად უფრო მოსახერხებელი და ხელმისაწვდომი.

ლოგარითმების ისტორია

მიუხედავად იმისა, რომ ლოგარითმული ფუნქცია გაცილებით გვიან გამოიგონეს, მისი გარეგნობის წინაპირობები ანტიკურ ხანაში იყო. მაგალითად, ძველმა ბერძენმა მეცნიერმა არქიმედესმა ძვ.

მაგრამ მთელი რიცხვების მაჩვენებლების ცხრილები (2, 3 და 4 ფუძეებისთვის), რომლებსაც ლოგარითმები მათი თანამედროვე გაგებით შეიძლება ვუწოდოთ, მხოლოდ VIII საუკუნეში მოიპოვა - ინდოელმა მეცნიერმა ვირასენამ.

როგორც ასტრონომია და ნავიგაცია განვითარდა, უფრო და უფრო გადაუდებელი აუცილებლობა გაჩნდა რთული მათემატიკური გამოთვლების გამარტივებისთვის: მრავალნიშნა რიცხვების გამრავლება და გაყოფა, ფესვების ამოღება, ძლიერებამდე აყვანა.

1544 წელს გერმანელმა მეცნიერმა მიხაელ შტიფელმა გადამწყვეტი ნაბიჯი გადადგა ამ მიმართულებით ლოგარითმული ცხრილის შედგენით, რომელსაც მოგვიანებით მისი სახელი ეწოდა. არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიების შედარების იდეა ცხრილების გამოყენებით იყო აღწერილი სტიფელმა წიგნში Arithmetica integra და საფუძველი ჩაუყარა ნიკოლაი ორესმესა და ნიკოლა ჩუკეტის შემდგომ ნაშრომებს.

მათ გარდა, ლოგარითმებს სწავლობდა შოტლანდიელი მათემატიკოსი ჯონ ნაპიერი, რომელმაც 1614 წელს ლათინურად გამოაქვეყნა Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. ამ ნაშრომში აღწერილი იყო არა მხოლოდ ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები, არამედ სინუსების, კოსინუსების და ტანგენტების ლოგარითმების რვანიშნა ცხრილები. ერთი ვერსიით, სწორედ კნეპერმა დაამტკიცა სახელწოდება „ლოგარითმი“, რომელიც მე-17 საუკუნიდან ერთადერთი გახდა და ალტერნატივა არ აქვს.

მიუხედავად მეცნიერებაში მისი სერიოზული წვლილისა, ჯონ კნეპერმა დაუშვა მრავალი შეცდომა ლოგარითმული ცხრილების შედგენისას (მეექვსე ციფრის შემდგომი რიცხვებისთვის) და ისინი სადავო იყო 1620-1624 წლებში.

1624 წელს იოჰანეს კეპლერმა გამოაქვეყნა ლოგარითმული ცხრილების თავისი ვერსია Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, ხოლო ედმუნდ ვინგეიტმა და უილიამ ოუტრედმა გამოიგონეს პირველი სლაიდების წესი. ბრიტანელმა მეცნიერმა ჰენრი ბრიგსმა ასევე ჩაატარა პარალელური კვლევა და 1617 წელს მან შეადგინა ათობითი ლოგარითმების 14-ნიშნა ცხრილები.

როგორც კნეპერის ნამუშევრის შემთხვევაში, შეცდომები ასევე მოგვიანებით იქნა აღმოჩენილი ბრიგსის ცხრილებში. თავდაპირველად, ცხრილში აღწერილი იყო ათობითი ლოგარითმები 1-დან 1000-მდე 8 ათწილადით, მაგრამ ხელახალი გამოთვლის შემდეგ მათი რიცხვი გაიზარდა 14 ათწილადამდე. 1783 წელს გეორგ ვეგამ გამოაქვეყნა შესწორებული ვერსია და მის საფუძველზე შედგენილი იქნა Bremiker-ის ცხრილები - აბსოლუტურად ზუსტი და უშეცდომოდ.

ეს იყო ლოგარითმების მზა ცხრილები, რამაც ეს მათემატიკური ფუნქცია ასე ფართოდ და მოთხოვნად აქცია. ყოველივე ამის შემდეგ, ახლა, რთული გამოთვლების ნაცვლად, საკმარისი იყო შეამოწმოთ საჭირო სვეტი და მყისიერად მიიღოთ სასურველი შედეგი. ფრანგმა მათემატიკოსმა პიერ-სიმონ ლაპლასმა თქვა, რომ ლოგარითმების გამოგონებამ „ასტრონომის მუშაობის შემცირებით, გააორმაგა მისი სიცოცხლე“.

მე-19 საუკუნეში ლოგარითმების გამოყენება დაიწყო კომპლექსურ ანალიზში. კერძოდ, კარლ ფრიდრიხ გაუსმა 1811 წელს შეიმუშავა ლოგარითმული ფუნქციის მრავალმნიშვნელოვნების თეორია, რომელიც განისაზღვრა როგორც 1/z-ის ინტეგრალი. გეორგ ფრიდრიხ ბერნჰარდ რიმანმა ააგო რიმანის ზედაპირების ზოგადი თეორია ლოგარითმებზე დაყრდნობით.

დღეს ლოგარითმები გამოიყენება ალგებრაში, გეომეტრიაში, ფიზიკაში, ასტრონომიაში, ინჟინერიაში, ეკონომიკაში და ბევრ სხვა მეცნიერებაში. თუ ადრე ეს ფუნქციები იანგარიშებოდა ხელით ან ლოგარითმული ცხრილების გამოყენებით, ხოლო 20-21-ე საუკუნეების მიჯნაზე - საინჟინრო კალკულატორების დახმარებით, დღეს ამ მიზნით კომპიუტერული ტექნოლოგია გამოიყენება. უბრალოდ გაუშვით შესაბამისი ონლაინ კალკულატორი და ის გამოთვლის ლოგარითმს წამის მეასედში!

ლოგარითმი (წესები, ფორმულები, მაგალითები)

დღეს ლოგარითმული ფუნქცია გამოიყენება იქ, სადაც არის პროცესები, რომლებიც დროთა განმავლობაში იცვლება. ბიოლოგია, ქიმია, ფიზიკა, ელექტროინჟინერია - ყველა ეს მეცნიერება იყენებს ლოგარითმებს. მაგრამ ლოგარითმი ყველაზე ფართოდ არის გავრცელებული ეკონომიკაში - როგორც მათემატიკური ანალიზის განუყოფელი ნაწილი.

განმარტება

მათემატიკური განმარტების მიხედვით, x რიცხვის ლოგარითმი არის მაჩვენებელი, რომელზეც ფუძე b უნდა გაიზარდოს x-ის მისაღებად. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ლოგარითმული ფუნქცია არის ინვერსიული სიმძლავრე, ან სიმძლავრის ინვერსია.

მაგალითად, გამონათქვამი 2^3 = 8 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: log2(8) = 3. 2 არის სიმძლავრის საფუძველი, 3 არის მაჩვენებელი, 8 არის ძალაზე აწევის შედეგი. სიცხადისთვის, შეგვიძლია ჩამოვთვალოთ სხვა მაგალითები:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0.25) = −2.
log625(125) = 0.75.

ზოგადად, გამოთქმა loga(b) იკითხება როგორც "b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე". ლოგარითმის დაწერისას მნიშვნელოვანია, რომ არ ავურიოთ ბაზა სიმძლავრესთან. ამრიგად, გამონათქვამში log2(8) = 3, 2 არის საფუძველი და 3 არის სიმძლავრე.

ლოგარითმების ჯიშები

არსებობს ლოგარითმების სამი ძირითადი ტიპი: ბუნებრივი, ათობითი და ორობითი.

ბუნებრივი

ირაციონალურ რიცხვებთან მუშაობისას (რომლებიც არ შეიძლება დაიწეროს როგორც საერთო წილადი მრიცხველთან და მნიშვნელთან), გამოიყენეთ ბუნებრივი ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი (e) ტოლი 2,71828. loge(x) ფორმის სტანდარტული გამოხატულება ამ შემთხვევაში ჩანაცვლებულია ln x-ით. ln არის ბუნებრივი ლოგარითმი, რომლის აღნიშვნა გვხვდება საინჟინრო კალკულატორების უმეტესობაში.

რატომ გჭირდებათ ლოგარითმის გაერთიანება ეილერის რიცხვთან? ეს აუცილებელია ექსპონენციური გამოთვლების განსახორციელებლად. ამრიგად, რაოდენობების მთელი სერია იცვლება დროთა განმავლობაში არა პროპორციულად, არამედ ექსპონენციალურად - ცვალებადი სიჩქარით.

ექსპონენტის გამოყენებით შეგიძლიათ აღწეროთ ბაქტერიების გამრავლების პროცესი, თოვლის ბურთების ზრდა, ბიოლოგიური პოპულაციების ზრდა, შემოსავლის ზრდა და რადიოაქტიური ნივთიერებების დაშლა. ბუნებრივი ლოგარითმი საშუალებას გვაძლევს აღვწეროთ ეს ფენომენი. მაგალითად, კრისტალური ზრდა შეიძლება ასე გამოიხატოს:

e^3 = 20.086.
e^5 = 148.413.
e^10 = 22026.466.

აქ e არის ეილერის მუდმივი რიცხვი, ხოლო ხარისხი არის წლების რაოდენობა. ანუ 3 წელიწადში ბროლი გაიზრდება 20,086 კილოგრამამდე, 5 წელიწადში - 148,413 კილოგრამამდე და ა.შ. მსგავსი გამოთვლები შეიძლება განხორციელდეს ნებისმიერი სხვა ექსპონენციური სიდიდეებისთვის.

ათწილადი და ორობითი

ეს ჯიშები შევიდა მიმოქცევაში, რათა გამარტივებულიყო ფორმულები და განტოლებები ათობითი და ორობით სისტემებში. ამრიგად, ათობითი ლოგარითმს ყოველთვის აქვს 10-ის ფუძე. იგი აღინიშნება როგორც log x და შეესაბამება გამონათქვამს log10(x). თავის მხრივ, ორობით ლოგარითმს ყოველთვის აქვს 2-ის საფუძველი და აღინიშნება როგორც lb x. ის ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც log2(x).

თვისებები და გამოთვლის ფორმულები

ლოგარითმებთან მუშაობისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამარტივებისა და ტრანსფორმაციის ფორმულები, რომლებიც მოქმედებს ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ყველაზე პოპულარული ფორმულები მოიცავს შემდეგს:

loga(1) = 0 - ერთის ლოგარითმი ყოველთვის ნულია.
loga(a) = 1 - თუ რიცხვი და ფუძე ემთხვევა, ლოგარითმი ყოველთვის ერთის ტოლია.
loga(a^n) = n არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) - რიცხვების ნამრავლის ლოგარითმი მათი ლოგარითმების ჯამის ტოლია.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - წილადის ლოგარითმი უდრის მრიცხველისა და მნიშვნელის ლოგარითმებს შორის სხვაობას.
loga(b^n) = n × loga(b) - საფუძვლების და არგუმენტების ხარისხი შეიძლება გაფართოვდეს ლოგარითმების მიღმა.

ამ ტრანსფორმაციის წესების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ გაამარტივოთ და იპოვოთ ლოგარითმების მნიშვნელობები კონკრეტულ ამოცანებში. მაგალითად, გამოვთვალოთ გამოხატულება lg2 × lb10. ტრანსფორმაციის შემდეგ ვიღებთ: log10(2) × log2(10). ერთ ბაზაზე შემცირების შემდეგ მივიღებთ:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

განიხილეთ სხვა მაგალითი ლოგარითმების დამატებით: log216(2) + log216(3). ტრანსფორმაციის ფორმულების გამოყენებით ვიღებთ:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

ბოლოს, მარტივი გამოხატულება log3(81) შეიძლება დაიწეროს როგორც log3(9 × 9) და გამოითვალოს როგორც log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. ანუ დიდია ალბათობა იმისა, რომ შემცირების შემდეგ გამოსახულებაში ლოგარითმული ფუნქციაც კი არ დარჩეს და ის უკვე გამოთვლილი რიცხვის სახით იქნება წარმოდგენილი.

კონვერტაციის ფორმულების გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოკლოთ გამონათქვამები და შეამციროთ ისინი აღნიშვნის მარტივ ფორმამდე და მხოლოდ ამის შემდეგ განახორციელოთ მათი გამოთვლა. თუ ტრანსფორმაციების შუალედური მნიშვნელობები არ არის თქვენთვის მნიშვნელოვანი, არამედ მხოლოდ საბოლოო შედეგი, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ჩვენი ონლაინ კალკულატორი. თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ მასში საჭირო მნიშვნელობები და პროგრამა გამოთვლის ათობითი, ბუნებრივ ან ორობით ლოგარითმს წამის ნაწილად!