😍 Calcolatrice logaritmica

In matematica e in altre scienze esatte, sono ampiamente utilizzati i logaritmi, funzioni che sono l'inverso dell'elevazione a una potenza. Ad esempio, il logaritmo di 10 su 1000 è uguale a 3, poiché per ottenere mille, è necessario fare 10 al cubo, e il logaritmo di 2 su 16 è uguale a 4, poiché 16 è 2 alla quarta potenza.

I logaritmi semplificano notevolmente i calcoli matematici complessi, poiché possono essere utilizzati per esprimere l'esponenziazione e l'estrazione della radice come moltiplicazione e divisione per l'esponente.

Oltre ai logaritmi, nelle scienze esatte vengono utilizzate anche le loro funzioni inverse: gli antilogaritmi o "logaritmi inversi". L'antilogaritmo di x è il risultato del potenziamento, ovvero un numero il cui logaritmo è uguale a x.

I logaritmi sono indicati nelle formule come log e gli antilogaritmi sono indicati come ant log. Queste designazioni possono essere trovate non solo nelle tabelle logaritmiche, ma anche sulle tastiere dei calcolatori tecnici. Ma oggi, per calcolare queste funzioni, vengono utilizzati più spesso speciali calcolatori online, molto più convenienti e accessibili.

La storia dei logaritmi

Sebbene la funzione logaritmica sia stata inventata molto più tardi, i prerequisiti per la sua comparsa risalgono all'antichità. Ad esempio, lo scienziato greco Archimede nel III secolo a.C. stabilì una connessione tra la progressione aritmetica e geometrica e studiò le proprietà dei gradi con esponenti naturali.

Ma le tabelle degli esponenti interi (per le basi 2, 3 e 4), che possono essere chiamate logaritmi nel senso moderno, furono ottenute solo nell'VIII secolo - dallo scienziato indiano Virasena.

Con lo sviluppo dell'astronomia e della navigazione, è emersa un'esigenza sempre più urgente di semplificare calcoli matematici complessi: moltiplicazione e divisione di numeri a più cifre, estrazione di radici, elevazione a potenze.

Nel 1544 lo scienziato tedesco Michael Stiefel compì un passo decisivo in questa direzione compilando una tavola logaritmica che in seguito prese il suo nome. L'idea di confrontare progressioni aritmetiche e geometriche utilizzando le tabelle è stata descritta da Stiefel nel libro Arithmetica integra e ha costituito la base per i successivi lavori di Nikolai Oresme e Nicola Chuquet.

Oltre a loro, studiò i logaritmi il matematico scozzese John Napier, che pubblicò in latino Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio nel 1614. Questo lavoro descriveva non solo le proprietà della funzione logaritmica, ma anche tavole di logaritmi a otto cifre di seno, coseno e tangenti. Secondo una versione, fu Knepper ad approvare il nome "logaritmo", che dal XVII secolo è diventato l'unico e non ha alternative.

Nonostante i suoi importanti contributi alla scienza, John Knepper commise una serie di errori durante la compilazione delle tabelle logaritmiche (per i numeri dopo la sesta cifra), che furono contestati nel 1620-1624.

Nel 1624, Giovanni Keplero pubblicò la sua versione delle tavole logaritmiche Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, mentre Edmund Wingate e William Oughtred inventarono il primo regolo calcolatore. Anche lo scienziato britannico Henry Briggs condusse ricerche parallele e nel 1617 compilò tavole di logaritmi decimali a 14 cifre.

Come nel caso del lavoro di Knepper, anche nelle tabelle di Briggs furono successivamente scoperti degli errori. Inizialmente, la tabella descriveva i logaritmi decimali da 1 a 1000 con 8 cifre decimali, ma dopo il ricalcolo il loro numero è aumentato a 14 cifre decimali. Nel 1783 Georg Vega pubblicò una versione riveduta e sulla base di essa furono compilate le tabelle Bremiker, assolutamente accurate e prive di errori.

Sono state le tabelle dei logaritmi già pronte a rendere questa funzione matematica così diffusa e richiesta. Dopotutto, ora, invece di calcoli complessi, era sufficiente controllare la colonna richiesta e ottenere immediatamente il risultato desiderato. Il matematico francese Pierre-Simon Laplace affermò che l'invenzione dei logaritmi "accorciando il lavoro dell'astronomo, raddoppiò la sua vita".

Nel XIX secolo, i logaritmi iniziarono a essere utilizzati nelle analisi complesse. In particolare, Carl Friedrich Gauss nel 1811 sviluppò una teoria della multivalore della funzione logaritmica, definita come integrale di 1/z. E Georg Friedrich Bernhard Riemann costruì una teoria generale delle superfici di Riemann basata sui logaritmi.

Oggi i logaritmi vengono utilizzati in algebra, geometria, fisica, astronomia, ingegneria, economia e in molte altre scienze. Se prima queste funzioni venivano calcolate manualmente o utilizzando tabelle logaritmiche e, a cavallo tra il XX e il XXI secolo, con l'aiuto di calcolatori ingegneristici, oggi la tecnologia informatica viene utilizzata per questo scopo. Basta eseguire il calcolatore online appropriato e calcolerà il logaritmo in una frazione di secondo!

Oggi la funzione logaritmica viene utilizzata ovunque ci siano processi che cambiano nel tempo. Biologia, chimica, fisica, ingegneria elettrica: tutte queste scienze utilizzano i logaritmi. Ma il logaritmo è più diffuso in economia, come parte integrante dell'analisi matematica.

Definizione

Secondo la definizione matematica, il logaritmo di un numero x è un esponente al quale bisogna elevare la base b per ottenere x. In altre parole, una funzione logaritmica è una potenza invertita, o l'inverso di una potenza.

Ad esempio, l'espressione 2^3 = 8 può essere rappresentata come: log2(8) = 3. 2 è la base della potenza, 3 è l'esponente, 8 è il risultato dell'elevazione alla potenza. Per chiarezza possiamo elencare altri esempi:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0,25) = −2.
log625(125) = 0,75.

In generale, l'espressione loga(b) viene letta come "il logaritmo di b in base a". Quando si scrive un logaritmo è importante non confondere la base con la potenza. Pertanto, nell'espressione log2(8) = 3, 2 è la base e 3 è la potenza.

Varietà di logaritmi

Esistono tre tipi principali di logaritmi: naturale, decimale e binario.

Naturale

Quando lavori con numeri irrazionali (che non possono essere scritti come una frazione comune con un numeratore e un denominatore), utilizza il logaritmo naturale, la cui base è il numero di Eulero (e) pari a 2,71828. L'espressione standard della forma loge(x) in questo caso è sostituita da ln x. ln è il logaritmo naturale, la cui designazione può essere trovata sulla maggior parte dei calcolatori tecnici.

Perché è necessario combinare il logaritmo con il numero di Eulero? Questo è necessario per effettuare calcoli esponenziali. Pertanto, tutta una serie di quantità cambia nel tempo non in modo proporzionale, ma esponenziale, con una velocità di cambiamento.

Utilizzando l'esponente, puoi descrivere il processo di riproduzione batterica, la crescita delle palle di neve, l'aumento delle popolazioni biologiche, l'aumento del reddito e il decadimento delle sostanze radioattive. Il logaritmo naturale ci permette di descrivere questi fenomeni. Ad esempio, la crescita dei cristalli può essere espressa in questo modo:

e^3 = 20.086.
e^5 = 148.413.
e^10 = 22026.466.

Qui e è il numero costante di Eulero e il grado è il numero di anni. Cioè, in 3 anni il cristallo crescerà fino a 20.086 chilogrammi, in 5 anni - a 148.413 chilogrammi e così via. Calcoli simili possono essere eseguiti per qualsiasi altra quantità esponenziale.

Decimale e binario

Queste varietà furono introdotte in circolazione per semplificare la scrittura di formule ed equazioni nei sistemi decimali e binari. Pertanto, il logaritmo decimale ha sempre una base 10. È indicato come log x e corrisponde all'espressione log10(x). A sua volta, il logaritmo binario ha sempre base 2 ed è indicato come lb x. Può anche essere rappresentato come log2(x).

Proprietà e formule di calcolo

Quando si lavora con i logaritmi, è possibile utilizzare formule di semplificazione e trasformazione valide per qualsiasi valore delle variabili. Le formule più popolari includono quanto segue:

loga(1) = 0 - il logaritmo di uno è sempre zero.
loga(a) = 1 - se numero e base coincidono, il logaritmo è sempre uguale a uno.
loga(a^n) = n è l'identità logaritmica di base.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) - il logaritmo del prodotto di numeri è uguale alla somma dei loro logaritmi.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - il logaritmo di una frazione è uguale alla differenza tra i logaritmi del numeratore e del denominatore.
loga(b^n) = n × loga(b) - il grado delle basi e degli argomenti può essere esteso oltre i logaritmi.

Conoscendo queste regole di trasformazione, puoi semplificare e trovare i valori dei logaritmi in problemi specifici. Ad esempio, calcoliamo l'espressione lg2 × lb10. Dopo la trasformazione otteniamo: log10(2) × log2(10). Dopo la riduzione ad un'unica base otteniamo:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Considera un altro esempio con l'aggiunta di logaritmi: log216(2) + log216(3). Utilizzando le formule di trasformazione, otteniamo:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Infine, la semplice espressione log3(81) può essere scritta come log3(9 × 9) e calcolata come log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. Cioè, c'è un'alta probabilità che dopo le riduzioni non rimanga nemmeno alcuna funzione logaritmica nell'espressione e verrà presentata come un numero già calcolato.

Utilizzando le formule di conversione, puoi abbreviare le espressioni e ridurle a una forma di notazione più semplice, e solo successivamente eseguirne il calcolo. Se per te non sono importanti i valori intermedi delle trasformazioni, ma solo il risultato finale, dovresti utilizzare il nostro calcolatore online. Devi solo inserire i valori richiesti e il programma calcolerà il logaritmo decimale, naturale o binario in una frazione di secondo!