😍 Logaritmus számológép

A matematikában és más egzakt tudományokban a logaritmusokat széles körben használják – olyan függvények, amelyek a hatványra emelés fordítottja. Például az 1000-hez tartozó 10-es logaritmus 3-mal egyenlő, mivel ezreshez 10-et kell kockára vágni, a 16-ból 2-nek pedig 4-gyel, mivel 16 a negyedik hatvány 2-je.

A logaritmusok nagyban leegyszerűsítik az összetett matematikai számításokat, mivel felhasználhatók a hatványozás és a gyökkivonás kifejezésére a kitevővel való szorzás és osztás formájában.

A logaritmusok mellett az inverz függvényeiket is használják az egzakt tudományokban – az antilogaritmusokat vagy „inverz logaritmusokat”. Az x antilogaritmusa a potenciálás eredménye, vagy egy olyan szám, amelynek logaritmusa egyenlő x-szel.

A képletekben a logaritmusokat logaritmusként, az antilogaritmusokat pedig ant log-ként jelölik. Ezek a jelölések nemcsak a logaritmikus táblázatokban, hanem a műszaki számológépek billentyűzetén is megtalálhatók. De manapság ezeknek a függvényeknek a kiszámításához gyakrabban használnak speciális online számológépeket – sokkal kényelmesebbek és elérhetőbbek.

A logaritmusok története

Bár a logaritmikus függvényt jóval később találták fel, megjelenésének előfeltételeit az ókorban vezették vissza. Például az ókori görög tudós, Arkhimédész a Kr.e. 3. században kapcsolatot teremtett az aritmetikai és a geometriai progresszió között, és a hatványok tulajdonságait természetes kitevőkkel vizsgálta.

De a mai értelemben logaritmusnak nevezhető egész kitevő táblázatait (a 2., 3. és 4. bázishoz) csak a 8. században szerezte meg – Virasena indiai tudós.

A csillagászat és a navigáció fejlődésével egyre sürgetőbb igény merült fel az összetett matematikai számítások egyszerűsítésére: többjegyű számok szorzására és osztására, gyökök kiemelésére, hatványozásra.

1544-ben Michael Stiefel német tudós döntő lépést tett ebbe az irányba azzal, hogy összeállított egy logaritmikus táblázatot, amelyet később róla neveztek el. Stiefel az Arithmetica integra című könyvében leírta az aritmetikai és geometriai progresszió táblázatokkal történő összehasonlításának ötletét, és ez képezte az alapját Nicholas Oresme és Nicola Chuquet későbbi munkáinak.

Rajtuk kívül a skót matematikus, John Napier is tanult logaritmusokat, aki 1614-ben latinul adta ki a Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptiót. Ez a munka nemcsak a logaritmikus függvény tulajdonságait írta le, hanem a szinuszok, koszinuszok és érintők logaritmusainak nyolc számjegyű táblázatait is. Az egyik változat szerint Knepper volt az, aki jóváhagyta a „logaritmus” elnevezést, amely a 17. század óta az egyetlen, és nincs alternatívája.

A tudományhoz való komoly hozzájárulása ellenére John Knepper számos hibát vétett a logaritmikus táblázatok összeállítása során (a hatodik számjegy utáni számokhoz), és 1620-1624 között vitatták ezeket.

1624-ben Johannes Kepler kiadta a Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos logaritmikus táblák változatát, Edmund Wingate és William Oughtred pedig feltalálta az első diaszabályt. Párhuzamos kutatásokat végzett Henry Briggs brit tudós is, aki 1617-ben 14 számjegyű decimális logaritmustáblázatokat állított össze.

Ahogyan Knepper munkája, úgy később Briggs táblázatai is hibákat tartalmaztak. A táblázat kezdetben 1-től 1000-ig írta le a tizedes logaritmusokat 8 tizedesjegygel, de az újraszámítás után számuk 14 tizedesjegyre nőtt. 1783-ban Georg Vega kiadott egy átdolgozott változatot, és ennek alapján állították össze a Bremiker-táblázatokat – abszolút pontosak és hibamentesek.

Ezt a matematikai függvényt a kész logaritmustáblázatok tették olyan széles körben elterjedtté és igényessé. Végül is most az összetett számítások helyett elég volt ellenőrizni a szükséges oszlopot, és azonnal megkapni a kívánt eredményt. Pierre-Simon Laplace francia matematikus azt mondta, hogy a logaritmusok feltalálása „azáltal, hogy lerövidítette a csillagász munkáját, megkétszerezte az életét.”

A 19. században a logaritmusokat elkezdték használni az összetett elemzésben. Különösen Carl Friedrich Gauss 1811-ben dolgozott ki egy elméletet a logaritmikus függvény többértékűségéről, amelyet 1/z integráljaként határoztak meg. Georg Friedrich Bernhard Riemann pedig felépített egy általános elméletet a Riemann-felületekről logaritmusokon alapulóan.

Ma a logaritmusokat az algebrában, a geometriában, a fizikában, a csillagászatban, a mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban és sok más tudományban használják. Ha korábban ezeket a függvényeket manuálisan vagy logaritmikus táblázatok segítségével számították ki, a 20-21. század fordulóján pedig - mérnöki számológépek segítségével, akkor ma már a számítástechnikát használják erre a célra. Csak futtassa a megfelelő online számológépet, és a másodperc töredéke alatt kiszámítja a logaritmust!

Logaritmus (szabályok, képletek, példák)

Ma a logaritmikus függvényt mindenhol használják, ahol idővel megváltoznak a folyamatok. Biológia, kémia, fizika, elektrotechnika – ezek a tudományok logaritmusokat használnak. De a logaritmus a közgazdaságtanban a legelterjedtebb – a matematikai elemzés szerves részeként.

Definíció

A matematikai definíció szerint egy x szám logaritmusa olyan kitevő, amelyre a b alapot fel kell emelni, hogy x-et kapjunk. Más szavakkal, a logaritmikus függvény egy fordított hatvány vagy egy hatvány inverze.

Például a 2^3 = 8 kifejezés a következőképpen ábrázolható: log2(8) = 3. 2 a hatvány alapja, 3 a kitevő, a 8 a hatványra emelés eredménye. Az érthetőség kedvéért további példákat is felsorolhatunk:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0,25) = −2.
log625(125) = 0,75.

Általában a loga(b) kifejezés a következőképpen értelmezhető: „b logaritmusa a bázishoz”. A logaritmus felírásakor fontos, hogy ne keverjük össze a bázist a hatalommal. Így a log2(8) = 3 kifejezésben 2 az alap, a 3 pedig a hatvány.

A logaritmusok változatai

A logaritmusoknak három fő típusa van: természetes, decimális és bináris.

Természetes

Ha irracionális számokkal dolgozik (amelyek nem írhatók fel számlálóval és nevezővel közös törtként), használja a természetes logaritmust, amelynek alapja a 2,71828-cal egyenlő (e) Euler-szám. A loge(x) alakú standard kifejezést ebben az esetben az ln x helyettesíti. ln a természetes logaritmus, amelynek jelölése a legtöbb mérnöki számológépen megtalálható.

Miért kell kombinálni a logaritmust az Euler-számmal? Ez az exponenciális számítások elvégzéséhez szükséges. Így a mennyiségek egész sora idővel nem arányosan, hanem exponenciálisan változik - változó sebességgel.

A kitevő segítségével leírhatja a baktériumok szaporodásának folyamatát, a hógolyók növekedését, a biológiai populációk növekedését, a jövedelem növekedését és a radioaktív anyagok bomlását. A természetes logaritmus lehetővé teszi, hogy leírjuk ezeket a jelenségeket. A kristálynövekedést például így fejezhetjük ki:

e^3 = 20,086.
e^5 = 148,413.
e^10 = 22026,466.

Itt az e az Euler-féle állandó szám, a fok pedig az évek száma. Vagyis 3 év alatt a kristály 20,086 kilogrammra nő, 5 év alatt - 148,413 kilogrammra és így tovább. Hasonló számítások elvégezhetők bármely más exponenciális mennyiségre is.

Tizedes és bináris

Ezeket a változatokat azért vezették be a forgalomba, hogy egyszerűsítsék a képletek és egyenletek decimális és bináris rendszerben történő írását. Így a decimális logaritmus alapja mindig 10. Ezt log x-ként jelöljük, és a log10(x) kifejezésnek felel meg. Viszont a bináris logaritmus alapja mindig 2, és lb x-ként jelöljük. Log2(x)-ként is ábrázolható.

Tulajdonságok és számítási képletek

A logaritmusokkal végzett munka során olyan egyszerűsítési és átalakítási képleteket használhat, amelyek a változók bármely értékére érvényesek. A legnépszerűbb képletek a következők:

loga(1) = 0 – az egyes logaritmusa mindig nulla.
loga(a) = 1 – ha a szám és az alap egybeesik, a logaritmus mindig eggyel egyenlő.
loga(a^n) = n az alapvető logaritmikus azonosság.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) – a számok szorzatának logaritmusa megegyezik a logaritmusaik összegével.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - egy tört logaritmusa megegyezik a számláló és a nevező logaritmusa közötti különbséggel.
loga(b^n) = n × loga(b) – az alapok és argumentumok mértéke kiterjeszthető a logaritmusokon túlra.

Ezen transzformációs szabályok ismeretében leegyszerűsítheti és megtalálhatja a logaritmusok értékeit konkrét feladatokban. Például számítsuk ki az lg2 × lb10 kifejezést. A transzformáció után a következőt kapjuk: log10(2) × log2(10). Egy alapra redukálás után a következőket kapjuk:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Vegyünk egy másik példát logaritmusok hozzáadásával: log216(2) + log216(3). A transzformációs képletek segítségével a következőt kapjuk:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6 (6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Végül a log3(81) egyszerű kifejezés log3(9 × 9)-ként írható fel, és a következőképpen számítható ki: log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. Azaz nagy a valószínűsége annak, hogy a redukciók után már nem is marad logaritmikus függvény a kifejezésben, hanem már kiszámított számként jelenik meg.

A konverziós képletekkel lerövidítheti a kifejezéseket, egyszerűbb jelölési formára redukálhatja őket, és csak ezután hajthatja végre a számításukat. Ha Önnek nem a transzformációk köztes értékei a fontosak, hanem csak a végeredmény, használja online kalkulátorunkat. Csak be kell írnia a szükséges értékeket, és a program a másodperc törtrésze alatt kiszámítja a decimális, természetes vagy bináris logaritmust!