מחשבון לוגריתמי
![מחשבון לוגריתמי](/media/images/log_calculator.webp)
במתמטיקה ובמדעים מדויקים אחרים, נעשה שימוש נרחב בלוגריתמים - פונקציות שהן היפוך של העלאה לחזקה. לדוגמה, הלוגריתם של 10 מתוך 1000 שווה ל-3, מכיוון שכדי להשיג אלף, יש לקוביות 10, והלוגריתם של 2 מתוך 16 שווה ל-4, שכן 16 הוא 2 בחזקת רביעית.
לוגריתמים מפשטים מאוד חישובים מתמטיים מורכבים, מכיוון שניתן להשתמש בהם כדי לבטא אקספונציה וחילוץ שורשים ככפל וחילוק במעריך.
בנוסף ללוגריתמים, הפונקציות ההפוכות שלהם משמשות גם במדעים המדויקים - אנטי-לוגריתמים, או "לוגריתמים הפוכים". האנטי-לוגריתם של x הוא תוצאה של פוטנציציה, או מספר שהלוגריתם שלו שווה ל-x.
לוגריתמים מסומנים בנוסחאות כ-log, ואנטי-לוגריתמים מסומנים כ-ant log. ניתן למצוא ייעודים אלה לא רק בטבלאות לוגריתמיות, אלא גם במקלדות של מחשבונים הנדסיים. אבל כיום, כדי לחשב את הפונקציות הללו, נעשה שימוש לעתים קרובות יותר במחשבונים מקוונים מיוחדים - הרבה יותר נוחים ונגישים.
ההיסטוריה של הלוגריתמים
למרות שהפונקציה הלוגריתמית הומצאה הרבה יותר מאוחר, התנאים המוקדמים להופעתה היו מימי קדם. לדוגמה, המדען היווני הקדום ארכימדס במאה ה-3 לפני הספירה יצר קשר בין התקדמות אריתמטית וגיאומטרית, וחקר את התכונות של מעלות עם אקספוננטים טבעיים.
אבל טבלאות של מעריכים שלמים (עבור בסיסים 2, 3 ו-4), שניתן לכנותם לוגריתמים במובן המודרני שלהם, הושגו רק במאה ה-8 - על ידי המדען ההודי Virasena.
ככל שהתפתחו האסטרונומיה והניווט, התעורר צורך דחוף יותר ויותר לפשט חישובים מתמטיים מורכבים: הכפלה וחלוקה של מספרים רב ספרתיים, חילוץ שורשים, העלאה לחזקות.
בשנת 1544, המדען הגרמני מיכאל שטיפל עשה צעד מכריע בכיוון זה על ידי עריכת טבלה לוגריתמית שנקראה מאוחר יותר על שמו. הרעיון של השוואת התקדמות אריתמטית וגיאומטרית באמצעות טבלאות תואר על ידי שטיפל בספר Arithmetica integra, והיווה את הבסיס לעבודות הבאות של ניקולאי אורסמה וניקולא צ'וקט.
בנוסף אליהם, המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נאפייר חקר לוגריתמים, שפרסם את Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio בלטינית ב-1614. עבודה זו תיארה לא רק את המאפיינים של הפונקציה הלוגריתמית, אלא גם טבלאות בנות שמונה ספרות של לוגריתמים של סינוסים, קוסינוסים וטנג'ים. לפי גרסה אחת, קנפר הוא שאישר את השם "לוגריתם", שמאז המאה ה-17 הפך ליחיד ואין לו חלופה.
למרות תרומתו הרצינית למדע, ג'ון קנפר עשה מספר שגיאות בעת עריכת טבלאות לוגריתמיות (עבור מספרים לאחר הספרה השישית), והן נדונו בשנים 1620-1624.
ב-1624 פרסם יוהנס קפלר את הגרסה שלו לטבלאות הלוגריתמיות Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, ואדמונד וינגייט וויליאם אוטרד המציאו את כלל השקופיות הראשון. גם המדען הבריטי הנרי בריגס ביצע מחקר מקביל, ובשנת 1617 הוא הרכיב טבלאות בנות 14 ספרות של לוגריתמים עשרוניים.
כמו במקרה של עבודתו של קנפר, שגיאות התגלו לאחר מכן גם בטבלאות של בריגס. בתחילה, הטבלה תיארה לוגריתמים עשרוניים מ-1 עד 1000 עם 8 מקומות עשרוניים, אך לאחר חישוב מחדש מספרם גדל ל-14 מקומות עשרוניים. בשנת 1783, גיאורג וגה פרסם גרסה מתוקנת, ועל בסיסה נערכו טבלאות Bremiker - מדויקות לחלוטין וללא שגיאות.
הטבלאות המוכנות של הלוגריתמים הן שהפכו את הפונקציה המתמטית הזו לנפוצה כל כך ומבוקשת. אחרי הכל, עכשיו, במקום חישובים מורכבים, זה היה מספיק כדי לבדוק את העמודה הנדרשת ולקבל מיד את התוצאה הרצויה. המתמטיקאי הצרפתי פייר-סימון לפלס אמר כי המצאת הלוגריתמים "על ידי קיצור עבודתו של האסטרונום, הכפילה את חייו."
במאה ה-19 החלו להשתמש בלוגריתמים בניתוח מורכב. בפרט, קרל פרידריך גאוס בשנת 1811 פיתח תיאוריה של ריבוי הערכים של הפונקציה הלוגריתמית, המוגדרת כאינטגרל של 1/z. וגיאורג פרידריך ברנהרד רימן בנה תיאוריה כללית של משטחי רימן המבוססת על לוגריתמים.
היום משתמשים בלוגריתמים באלגברה, גיאומטריה, פיזיקה, אסטרונומיה, הנדסה, כלכלה ומדעים רבים אחרים. אם קודם לכן חושבו פונקציות אלו באופן ידני או באמצעות טבלאות לוגריתמיות, ובתחילת המאות ה-20-21 - בעזרת מחשבונים הנדסיים, כיום משתמשים בטכנולוגיית מחשבים למטרה זו. פשוט הפעל את המחשבון המקוון המתאים, והוא יחשב את הלוגריתם בשבריר שנייה!