😍 Logaritmilaskin

Matematiikassa ja muissa eksaktissa tieteessä käytetään laajalti logaritmeja – funktioita, jotka ovat käänteisiä potenssiin nostamiselle. Esimerkiksi luvun 10/1000 logaritmi on yhtä kuin 3, koska tuhannen saamiseksi 10 on kuutioitava ja logaritmi 2/16 on 4, koska 16 on 2 neljänteen potenssiin.

Logaritmit yksinkertaistavat huomattavasti monimutkaisia matemaattisia laskelmia, koska niillä voidaan ilmaista eksponentio ja juurierotus kertoimena ja jakolaskuna eksponentilla.

Logaritmien lisäksi eksaktissa tieteessä käytetään myös niiden käänteisiä funktioita - antilogaritmeja eli "käänteisiä logaritmeja". X:n antilogaritmi on potentioimisen tulos tai luku, jonka logaritmi on yhtä suuri kuin x.

Logaritmit merkitään kaavoissa logaritmiksi ja antilogaritmit muurahaislogiksi. Näitä merkintöjä ei löydy vain logaritmisista taulukoista, vaan myös teknisten laskimien näppäimistöltä. Mutta nykyään näiden toimintojen laskemiseen käytetään useammin erityisiä online-laskimia – paljon kätevämpiä ja helppokäyttöisempiä.

Logaritmien historia

Vaikka logaritminen funktio keksittiin paljon myöhemmin, sen esiintymisen edellytykset juontiin antiikista. Esimerkiksi antiikin kreikkalainen tiedemies Archimedes loi 3. vuosisadalla eKr. yhteyden aritmeettisen ja geometrisen progression välille ja tutki asteiden ominaisuuksia luonnollisilla eksponenteilla.

Mutta kokonaislukueksponenttien taulukot (kantaille 2, 3 ja 4), joita voidaan kutsua logaritmeiksi niiden nykyisessä merkityksessä, hankittiin vasta 800-luvulla - intialainen tiedemies Virasena.

Tätitieteen ja navigoinnin kehittyessä ilmaantui yhä kiireellisempi tarve yksinkertaistaa monimutkaisia matemaattisia laskelmia: moninumeroisten lukujen kertomista ja jakamista, juurien erottamista, potenssien nostamista.

Vuonna 1544 saksalainen tiedemies Michael Stiefel otti ratkaisevan askeleen tähän suuntaan laatimalla logaritmisen taulukon, joka myöhemmin nimettiin hänen mukaansa. Ajatuksen aritmeettisten ja geometristen progressien vertaamisesta taulukoiden avulla Stiefel kuvasi kirjassa Arithmetica integra, ja se muodosti perustan Nikolai Oresmen ja Nicola Chuquetin myöhemmille teoksille.

Heidän lisäksi logaritmeja opiskeli skotlantilainen matemaatikko John Napier, joka julkaisi Mirifici Logarithmorum Canonis Description latinaksi vuonna 1614. Tässä työssä ei kuvattu vain logaritmisen funktion ominaisuuksia, vaan myös kahdeksannumeroisia sinien, kosinien ja tangenttien logaritmien taulukoita. Erään version mukaan Knepper hyväksyi nimen "logaritmi", josta on 1600-luvulta lähtien tullut ainoa, eikä sillä ole vaihtoehtoa.

Vakavasta panoksestaan tieteeseen huolimatta John Knepper teki useita virheitä laatiessaan logaritmisia taulukoita (kuudennen luvun jälkeisille luvuille), ja ne kiistettiin vuosina 1620–1624.

Vuonna 1624 Johannes Kepler julkaisi versionsa logaritmisista taulukoista Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, ja Edmund Wingate ja William Oughtred keksivät ensimmäisen diasäännön. Myös brittiläinen tiedemies Henry Briggs teki rinnakkaistutkimusta, ja vuonna 1617 hän laati 14-numeroisia desimaalilogaritmeja.

Kuten Knepperin työssä, myös Briggsin taulukoista löydettiin myöhemmin virheitä. Aluksi taulukossa kuvattiin desimaalilogaritmit 1 - 1000 8 desimaalilla, mutta uudelleenlaskennan jälkeen niiden lukumäärä kasvoi 14 desimaaliin. Vuonna 1783 Georg Vega julkaisi tarkistetun version, ja sen pohjalta koottiin Bremiker-taulukot - ehdottoman tarkkoja ja virheettömiä.

Valmiit logaritmitaulukot tekivät tästä matemaattisesta funktiosta niin yleisen ja kysytyn. Loppujen lopuksi nyt monimutkaisten laskelmien sijasta riitti tarkistaa vaadittu sarake ja saada haluttu tulos välittömästi. Ranskalainen matemaatikko Pierre-Simon Laplace sanoi, että logaritmien keksiminen "lyhensi tähtitieteilijän työtä kaksinkertaisti hänen elämänsä."

1800-luvulla logaritmeja alettiin käyttää monimutkaisessa analyysissä. Erityisesti Carl Friedrich Gauss kehitti vuonna 1811 teorian logaritmisen funktion moniarvoisuudesta, joka määritellään 1/z:n integraaliksi. Ja Georg Friedrich Bernhard Riemann rakensi logaritmiin perustuvan yleisen teorian Riemannin pinnoista.

Tänään logaritmeja käytetään algebrassa, geometriassa, fysiikassa, tähtitiedessä, tekniikassa, taloustieteessä ja monissa muissa tieteissä. Jos aiemmin nämä funktiot laskettiin manuaalisesti tai logaritmisilla taulukoilla ja 1900-2000-luvun vaihteessa - teknisten laskimien avulla, nykyään tähän tarkoitukseen käytetään tietotekniikkaa. Suorita vain sopiva online-laskin, niin se laskee logaritmin sekunnin murto-osassa!

Tänä päivänä logaritmista funktiota käytetään aina, kun on prosesseja, jotka muuttuvat ajan myötä. Biologia, kemia, fysiikka, sähkötekniikka - kaikki nämä tieteet käyttävät logaritmeja. Mutta logaritmi on yleisin taloustieteessä - kiinteänä osana matemaattista analyysiä.

Määritelmä

Matemaattisen määritelmän mukaan luvun x logaritmi on eksponentti, johon kantaa b on korotettava x:n saamiseksi. Toisin sanoen logaritminen funktio on käänteinen potenssi tai potenssin käänteisarvo.

Esimerkiksi lauseke 2^3 = 8 voidaan esittää seuraavasti: log2(8) = 3. 2 on potenssin kanta, 3 on eksponentti, 8 on potenssiin korotuksen tulos. Selvyyden vuoksi voimme luetella muita esimerkkejä:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0,25) = −2.
log625(125) = 0,75.

Yleensä lauseke loga(b) luetaan "logaritmina b:stä kantaan a". Logaritmia kirjoitettaessa on tärkeää, ettei kantaa sekoita potenssiin. Näin ollen lausekkeessa log2(8) = 3, 2 on kanta ja 3 on potenssi.

Logaritmien lajikkeet

Logaritmeja on kolme päätyyppiä: luonnollinen, desimaali ja binääri.

Luonnollinen

Kun työskentelet irrationaalisten lukujen kanssa (joita ei voida kirjoittaa yhteiseksi murtoluvuksi osoittajan ja nimittäjän kanssa), käytä luonnollista logaritmia, jonka kanta on Eulerin luku (e), joka on yhtä suuri kuin 2,71828. Muodon loge(x) vakiolauseke korvataan tässä tapauksessa ln x:llä. ln on luonnollinen logaritmi, jonka merkintä löytyy useimmista teknisistä laskimista.

Miksi logaritmi pitää yhdistää Euler-luvun kanssa? Tämä on välttämätöntä eksponentiaalisten laskelmien suorittamiseksi. Näin ollen koko joukko suureita ei muutu ajan myötä suhteellisesti, vaan eksponentiaalisesti - muuttuvalla nopeudella.

Käyttämällä eksponenttia voit kuvata bakteerien lisääntymisprosessia, lumipallojen kasvua, biologisten populaatioiden kasvua, tulojen kasvua ja radioaktiivisten aineiden hajoamista. Luonnollisen logaritmin avulla voimme kuvata näitä ilmiöitä. Esimerkiksi kiteen kasvu voidaan ilmaista seuraavasti:

e^3 = 20,086.
e^5 = 148,413.
e^10 = 22026.466.

Tässä e on Eulerin vakioluku ja aste on vuosien lukumäärä. Eli 3 vuodessa kristalli kasvaa 20,086 kiloon, 5 vuodessa - 148,413 kiloon ja niin edelleen. Samanlaiset laskelmat voidaan suorittaa kaikille muille eksponentiaalisille suureille.

Desimaali ja binääri

Nämä lajikkeet otettiin käyttöön yksinkertaistamaan kaavojen ja yhtälöiden kirjoittamista desimaali- ja binäärijärjestelmissä. Siten desimaalilogaritmin kantaluku on aina 10. Sitä merkitään log x:lla ja se vastaa lauseketta log10(x). Binäärilogaritmin kanta on puolestaan aina 2 ja sitä merkitään lb x. Se voidaan esittää myös muodossa log2(x).

Ominaisuudet ja laskentakaavat

Kun työskentelet logaritmien kanssa, voit käyttää yksinkertaistamis- ja muunnoskaavoja, jotka ovat voimassa kaikille muuttujien arvoille. Suosituimpia kaavoja ovat seuraavat:

loga(1) = 0 - ykkösen logaritmi on aina nolla.
loga(a) = 1 - jos luku ja kanta ovat samat, logaritmi on aina yhtä suuri kuin yksi.
loga(a^n) = n on logaritminen perusidentiteetti.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) – lukujen tulon logaritmi on yhtä suuri kuin niiden logaritmien summa.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - murtoluvun logaritmi on yhtä suuri kuin osoittajan ja nimittäjän logaritmien välinen ero.
loga(b^n) = n × loga(b) - kanta- ja argumenttiastetta voidaan laajentaa logaritmien ulkopuolelle.

Tiedtämällä nämä muunnossäännöt voit yksinkertaistaa ja löytää logaritmien arvot tietyissä tehtävissä. Lasketaan esimerkiksi lauseke lg2 × lb10. Muunnoksen jälkeen saadaan: log10(2) × log2(10). Kun pelkistys yhdeksi pohjaksi saadaan:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Ajattele toista esimerkkiä logaritmien lisäyksellä: log216(2) + log216(3). Muunnoskaavojen avulla saamme:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Lopuksi yksinkertainen lauseke log3(81) voidaan kirjoittaa muodossa log3(9 × 9) ja laskea seuraavasti log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. Eli on suuri todennäköisyys, että pelkistysten jälkeen lausekkeeseen ei jää enää edes logaritmisia funktioita, vaan se esitetään jo laskettuna lukuna.

Käyttämällä muunnoskaavoja voit lyhentää lausekkeita ja pelkistää ne yksinkertaisemmaksi merkintämuodoksi ja suorittaa vasta sitten niiden laskelmat. Jos muunnosten väliarvot eivät ole sinulle tärkeitä, vaan vain lopputulos, sinun kannattaa käyttää online-laskuriamme. Sinun tarvitsee vain syöttää siihen tarvittavat arvot, ja ohjelma laskee desimaali-, luonnollisen- tai binäärilogaritmin sekunnin murto-osassa!