😍 ماشین حساب لگاریتمی

در ریاضیات و سایر علوم دقیق، لگاریتم ها به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرند - توابعی که معکوس افزایش به توان هستند. به عنوان مثال، لگاریتم 10 از 1000 برابر با 3 است، زیرا برای به دست آوردن هزار، 10 باید مکعب شود، و لگاریتم 2 از 16 برابر با 4 است، زیرا 16 برابر 2 به توان چهارم است.

لگاریتم ها محاسبات پیچیده ریاضی را بسیار ساده می کنند، زیرا می توان از آنها برای بیان توان و استخراج ریشه به صورت ضرب و تقسیم بر توان استفاده کرد.

علاوه بر لگاریتم ها، توابع معکوس آنها در علوم دقیق نیز استفاده می شود - آنتی لگاریتم یا "لگاریتم معکوس". پاد لگاریتم x نتیجه تقویت یا عددی است که لگاریتم آن برابر با x است.

لگاریتم ها در فرمول ها به صورت log و پاد لگاریتم ها به صورت ant log نشان داده می شوند. این نام گذاری ها را نه تنها در جداول لگاریتمی، بلکه در صفحه کلید ماشین حساب های مهندسی نیز می توان یافت. اما امروزه، برای محاسبه این توابع، بیشتر از ماشین‌حساب‌های آنلاین ویژه استفاده می‌شود - بسیار راحت‌تر و در دسترس‌تر.

تاریخچه لگاریتم

اگرچه تابع لگاریتمی خیلی دیرتر اختراع شد، پیش نیازهای ظاهر شدن آن به دوران باستان بازمی گردد. به عنوان مثال، ارشمیدس دانشمند یونان باستان در قرن 3 قبل از میلاد ارتباطی بین پیشرفت حسابی و هندسی برقرار کرد و خواص درجه‌ها را با نماهای طبیعی بررسی کرد.

اما جداول نماهای اعداد صحیح (برای پایه های 2، 3 و 4)، که می توان آنها را به معنای امروزی لگاریتم نامید، تنها در قرن 8 - توسط دانشمند هندی Virasena - به دست آمد.

همانطور که نجوم و ناوبری توسعه یافت، نیاز مبرمی فزاینده ای برای ساده کردن محاسبات پیچیده ریاضی ایجاد شد: ضرب و تقسیم اعداد چند رقمی، استخراج ریشه، افزایش به توان.

در سال 1544 دانشمند آلمانی میشائیل استیفل با تهیه جدول لگاریتمی که بعدها به نام او نامگذاری شد گامی تعیین کننده در این مسیر برداشت. ایده مقایسه پیشرفت‌های حسابی و هندسی با استفاده از جداول توسط استیفل در کتاب Arithmetica integra شرح داده شد و اساس کارهای بعدی نیکلای اورسمه و نیکولا چوکت را تشکیل داد.

علاوه بر آنها، ریاضیدان اسکاتلندی جان ناپیر، لگاریتم ها را مطالعه کرد، که Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio را در سال 1614 به زبان لاتین منتشر کرد. این کار نه تنها ویژگی های تابع لگاریتمی، بلکه جداول هشت رقمی لگاریتم سینوس ها، کسینوس ها و مماس ها را نیز شرح می دهد. بر اساس یک نسخه، این کنپر بود که نام "لگاریتم" را تأیید کرد، که از قرن هفدهم به تنهای تبدیل شده و هیچ جایگزینی ندارد.

جان نپر علیرغم کمکهای جدی خود به علم، هنگام گردآوری جداول لگاریتمی (برای اعداد بعد از رقم ششم) چندین اشتباه مرتکب شد و آنها در سالهای 1620-1620 مورد بحث قرار گرفتند.

در سال 1624، یوهانس کپلر نسخه خود را از جداول لگاریتمی Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos منتشر کرد و ادموند وینگیت و ویلیام اوترد اولین قانون اسلاید را اختراع کردند. دانشمند انگلیسی هنری بریگز نیز تحقیقات موازی انجام داد و در سال 1617 جداول 14 رقمی لگاریتم اعشاری را گردآوری کرد.

همانطور که در مورد کار Knepper، خطاها نیز متعاقباً در جداول بریگز کشف شدند. در ابتدا، جدول لگاریتم های اعشاری از 1 تا 1000 را با 8 رقم اعشار توصیف کرد، اما پس از محاسبه مجدد تعداد آنها به 14 رقم اعشار افزایش یافت. در سال 1783، گئورگ وگا نسخه اصلاح شده ای را منتشر کرد و بر اساس آن جداول Bremiker گردآوری شد - کاملاً دقیق و بدون خطا.

این جداول آماده لگاریتم بود که این تابع ریاضی را بسیار گسترده و مورد تقاضا کرد. از این گذشته ، اکنون به جای محاسبات پیچیده ، کافی بود ستون مورد نیاز را بررسی کنید و فوراً به نتیجه مطلوب برسید. ریاضیدان فرانسوی پیر سیمون لاپلاس گفت که اختراع لگاریتم "با کوتاه کردن کار منجم، عمر او را دو چندان کرد."

در قرن نوزدهم، لگاریتم ها شروع به استفاده در تجزیه و تحلیل پیچیده کردند. به طور خاص، کارل فردریش گاوس در سال 1811 تئوری چند ارزشی بودن تابع لگاریتمی را توسعه داد که به عنوان انتگرال 1/z تعریف شد. و گئورگ فردریش برنهارد ریمان یک نظریه کلی در مورد سطوح ریمان بر اساس لگاریتم ایجاد کرد.

امروزه لگاریتم ها در جبر، هندسه، فیزیک، نجوم، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از علوم دیگر استفاده می شود. اگر قبلاً این توابع به صورت دستی یا با استفاده از جداول لگاریتمی محاسبه می شد ، و در آستانه قرن 20-21 - با کمک ماشین حساب های مهندسی ، امروزه از فناوری رایانه برای این منظور استفاده می شود. فقط ماشین حساب آنلاین مناسب را اجرا کنید و لگاریتم را در یک ثانیه محاسبه می کند!

امروزه، هر جا که فرآیندهایی در طول زمان تغییر می کنند، از تابع لگاریتمی استفاده می شود. زیست شناسی، شیمی، فیزیک، مهندسی برق - همه این علوم از لگاریتم استفاده می کنند. اما لگاریتم در اقتصاد بسیار گسترده است - به عنوان بخشی جدایی ناپذیر از تجزیه و تحلیل ریاضی.

تعریف

طبق تعریف ریاضی، لگاریتم یک عدد x توانی است که برای بدست آوردن x باید پایه b را به آن افزایش داد. به عبارت دیگر، یک تابع لگاریتمی یک توان معکوس یا معکوس توان است.

برای مثال، عبارت 2^3 = 8 را می توان به صورت: log2(8) = 3 نشان داد. 2 پایه توان، 3 توان، 8 نتیجه افزایش به توان است. برای وضوح، می‌توانیم مثال‌های دیگری را فهرست کنیم:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0.25) = -2.
log625(125) = 0.75.

به طور کلی، عبارت loga(b) به صورت "لگاریتم b به پایه a" خوانده می شود. هنگام نوشتن لگاریتم، مهم است که پایه را با قدرت اشتباه نگیرید. بنابراین، در عبارت log2(8) = 3، 2 پایه و 3 قدرت است.

انواع لگاریتم

سه نوع لگاریتم اصلی وجود دارد: طبیعی، اعشاری و باینری.

طبیعی

هنگام کار با اعداد غیر منطقی (که نمی توان آنها را به صورت کسر مشترک با صورت و مخرج نوشت)، از لگاریتم طبیعی استفاده کنید که پایه آن عدد اویلر (e) برابر با 2.71828 است. عبارت استاندارد فرم loge(x) در این مورد با ln x جایگزین می شود. ln لگاریتم طبیعی است که نام آن را می توان در اکثر ماشین حساب های مهندسی پیدا کرد.

چرا باید لگاریتم را با عدد اویلر ترکیب کنید؟ این برای انجام محاسبات نمایی ضروری است. بنابراین، یک سری کامل از کمیت ها در طول زمان تغییر می کنند، نه متناسب، بلکه به صورت تصاعدی - با سرعت در حال تغییر.

با استفاده از توان، می‌توانید فرآیند تولید مثل باکتری، رشد گلوله‌های برفی، افزایش جمعیت‌های بیولوژیکی، افزایش درآمد و تجزیه مواد رادیواکتیو را توصیف کنید. لگاریتم طبیعی به ما این امکان را می دهد که این پدیده ها را توصیف کنیم. به عنوان مثال، رشد کریستال را می توان به این صورت بیان کرد:

e^3 = 20.086.
e^5 = 148.413.
e^10 = 22026.466.

در اینجا e عدد ثابت اویلر است و درجه تعداد سالها است. یعنی در 3 سال کریستال به 20.086 کیلوگرم، در 5 سال - به 148.413 کیلوگرم و غیره رشد می کند. محاسبات مشابهی را می توان برای هر کمیت نمایی دیگر انجام داد.

اعشاری و باینری

این گونه ها برای ساده کردن نوشتن فرمول ها و معادلات در سیستم های اعشاری و باینری وارد گردش شدند. بنابراین، لگاریتم اعشاری همیشه دارای پایه 10 است. با log x نشان داده می شود و با عبارت log10(x) مطابقت دارد. به نوبه خود، لگاریتم باینری همیشه پایه 2 دارد و با lb x نشان داده می شود. همچنین می تواند به صورت log2(x) نمایش داده شود.

خواص و فرمول های محاسبه

هنگام کار با لگاریتم، می‌توانید از فرمول‌های ساده‌سازی و تبدیل استفاده کنید که برای هر مقدار از متغیرها معتبر هستند. محبوب ترین فرمول ها شامل موارد زیر است:

loga(1) = 0 - لگاریتم یک همیشه صفر است.
loga(a) = 1 - اگر عدد و مبنا بر هم منطبق باشند، لگاریتم همیشه برابر با یک است.
loga(a^n) = n هویت لگاریتمی پایه است.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) - لگاریتم حاصلضرب اعداد برابر است با مجموع لگاریتم آنها.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - لگاریتم کسری برابر است با تفاوت بین لگاریتم های صورت و مخرج.
loga(b^n) = n × loga(b) - درجه مبانی و آرگومان‌ها را می‌توان فراتر از لگاریتم گسترش داد.

با دانستن این قوانین تبدیل، می توانید مقادیر لگاریتم ها را در مسائل خاص ساده کرده و بیابید. برای مثال، بیایید عبارت lg2 × lb10 را محاسبه کنیم. پس از تبدیل به این شکل می رسیم: log10(2) × log2(10). پس از کاهش به یک پایه، ما به این نتیجه می رسیم:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

مثال دیگری را با اضافه کردن لگاریتم در نظر بگیرید: log216(2) + log216(3). با استفاده از فرمول های تبدیل، به دست می آوریم:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

در نهایت، عبارت ساده log3(81) را می توان به صورت log3(9 × 9) نوشت و به صورت log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × محاسبه کرد. 1 = 4. یعنی احتمال زیادی وجود دارد که پس از کاهش ها حتی هیچ توابع لگاریتمی در عبارت باقی نماند و به عنوان عددی که قبلا محاسبه شده است ارائه شود.

با استفاده از فرمول‌های تبدیل، می‌توانید عبارات را کوتاه کرده و به شکل ساده‌تری از نمادگذاری کاهش دهید و تنها پس از آن محاسبه آنها را انجام دهید. اگر مقادیر میانی تبدیل ها برای شما مهم نیست، بلکه فقط نتیجه نهایی است، باید از ماشین حساب آنلاین ما استفاده کنید. فقط باید مقادیر مورد نیاز را در آن وارد کنید و برنامه لگاریتم اعشاری، طبیعی یا باینری را در کسری از ثانیه محاسبه می کند!