Αριθμομηχανή λογαρίθμου
![Αριθμομηχανή λογαρίθμου](/media/images/log_calculator.webp)
Στα μαθηματικά και άλλες ακριβείς επιστήμες, χρησιμοποιούνται ευρέως οι λογάριθμοι - συναρτήσεις που είναι το αντίστροφο της αύξησης σε δύναμη. Για παράδειγμα, ο λογάριθμος του 10 από το 1000 είναι ίσος με 3, αφού για να ληφθεί χίλια, το 10 πρέπει να τεμαχιστεί σε κύβους και ο λογάριθμος του 2 από το 16 είναι ίσος με 4, αφού το 16 είναι 2 προς την τέταρτη δύναμη.
Οι λογάριθμοι απλοποιούν πολύ τους σύνθετους μαθηματικούς υπολογισμούς, καθώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την έκφραση της εκθέσεως και της εξαγωγής ρίζας ως πολλαπλασιασμό και διαίρεση με τον εκθέτη.
Εκτός από τους λογάριθμους, οι αντίστροφες συναρτήσεις τους χρησιμοποιούνται επίσης στις ακριβείς επιστήμες - αντιλογάριθμοι ή "αντίστροφοι λογάριθμοι". Ο αντιλογάριθμος του x είναι το αποτέλεσμα της ενίσχυσης ή ενός αριθμού του οποίου ο λογάριθμος είναι ίσος με x.
Οι λογάριθμοι συμβολίζονται στους τύπους ως log και οι αντιλογάριθμοι συμβολίζονται ως log ant. Αυτές οι ονομασίες μπορούν να βρεθούν όχι μόνο σε λογαριθμικούς πίνακες, αλλά και στα πληκτρολόγια των μηχανικών αριθμομηχανών. Αλλά σήμερα, για τον υπολογισμό αυτών των συναρτήσεων, χρησιμοποιούνται συχνότερα ειδικές ηλεκτρονικές αριθμομηχανές - πολύ πιο βολικές και προσβάσιμες.
Η ιστορία των λογαρίθμων
Αν και η λογαριθμική συνάρτηση επινοήθηκε πολύ αργότερα, οι προϋποθέσεις για την εμφάνισή της ανιχνεύτηκαν στην Αρχαιότητα. Για παράδειγμα, ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Αρχιμήδης τον 3ο αιώνα π.Χ. δημιούργησε μια σύνδεση μεταξύ της αριθμητικής και της γεωμετρικής προόδου και ερεύνησε τις ιδιότητες των δυνάμεων με φυσικούς εκθέτες.
Αλλά πίνακες ακέραιων εκθετών (για τις βάσεις 2, 3 και 4), που μπορούν να ονομαστούν λογάριθμοι με τη σύγχρονη έννοια, λήφθηκαν μόνο τον 8ο αιώνα - από τον Ινδό επιστήμονα Virasena.
Καθώς αναπτύχθηκε η αστρονομία και η πλοήγηση, προέκυψε μια ολοένα και πιο επείγουσα ανάγκη απλούστευσης πολύπλοκων μαθηματικών υπολογισμών: πολλαπλασιασμός και διαίρεση πολυψήφιων αριθμών, εξαγωγή ριζών, αύξηση σε δυνάμεις.
Το 1544, ο Γερμανός επιστήμονας Michael Stiefel έκανε ένα αποφασιστικό βήμα προς αυτή την κατεύθυνση, συντάσσοντας έναν λογαριθμικό πίνακα που αργότερα ονομάστηκε από αυτόν. Η ιδέα της σύγκρισης αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων χρησιμοποιώντας πίνακες περιγράφηκε από τον Stiefel στο βιβλίο Arithmetica integra και αποτέλεσε τη βάση για τα επόμενα έργα των Nikolai Oresme και Nicola Chuquet.
Εκτός από αυτούς, ο Σκοτσέζος μαθηματικός John Napier μελέτησε λογάριθμους, ο οποίος δημοσίευσε το Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio στα Λατινικά το 1614. Αυτή η εργασία περιέγραψε όχι μόνο τις ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης, αλλά και οκταψήφιους πίνακες λογαρίθμων ημιτόνων, συνημιτόνων και εφαπτομένων. Σύμφωνα με μια εκδοχή, ήταν ο Knepper που ενέκρινε το όνομα «λογάριθμος», το οποίο από τον 17ο αιώνα έγινε το μοναδικό και δεν έχει εναλλακτική.
Παρά τη σοβαρή συνεισφορά του στην επιστήμη, ο John Knepper έκανε μια σειρά από λάθη κατά τη σύνταξη λογαριθμικών πινάκων (για αριθμούς μετά το έκτο ψηφίο) και αμφισβητήθηκαν το 1620-1624.
Το 1624, ο Johannes Kepler δημοσίευσε την εκδοχή του για τους λογαριθμικούς πίνακες Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos και οι Edmund Wingate και William Oughtred επινόησαν τον πρώτο κανόνα διαφάνειας. Ο Βρετανός επιστήμονας Henry Briggs έκανε επίσης παράλληλη έρευνα και το 1617 συνέταξε 14ψήφιους πίνακες δεκαδικών λογαρίθμων.
Όπως και στην περίπτωση του έργου του Knepper, λάθη ανακαλύφθηκαν στη συνέχεια και στους πίνακες του Briggs. Αρχικά, ο πίνακας περιέγραφε δεκαδικούς λογάριθμους από το 1 έως το 1000 με 8 δεκαδικά ψηφία, αλλά μετά τον επανυπολογισμό ο αριθμός τους αυξήθηκε στα 14 δεκαδικά ψηφία. Το 1783, ο Georg Vega δημοσίευσε μια αναθεωρημένη έκδοση και στη βάση της συντάχθηκαν οι πίνακες Bremiker - απολύτως ακριβείς και χωρίς σφάλματα.
Ήταν οι έτοιμοι πίνακες λογαρίθμων που έκαναν αυτή τη μαθηματική συνάρτηση τόσο διαδεδομένη και σε ζήτηση. Μετά από όλα, τώρα, αντί για πολύπλοκους υπολογισμούς, αρκούσε να ελέγξετε την απαιτούμενη στήλη και να λάβετε αμέσως το επιθυμητό αποτέλεσμα. Ο Γάλλος μαθηματικός Pierre-Simon Laplace είπε ότι η εφεύρεση των λογαρίθμων «συντομεύοντας το έργο του αστρονόμου, διπλασίασε τη ζωή του».
Τον 19ο αιώνα, οι λογάριθμοι άρχισαν να χρησιμοποιούνται σε σύνθετες αναλύσεις. Συγκεκριμένα, ο Carl Friedrich Gauss το 1811 ανέπτυξε μια θεωρία της πολυτιμότητας της λογαριθμικής συνάρτησης, που ορίζεται ως το ολοκλήρωμα του 1/z. Και ο Georg Friedrich Bernhard Riemann δημιούργησε μια γενική θεωρία για τις επιφάνειες Riemann με βάση τους λογάριθμους.
Σήμερα οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται στην άλγεβρα, τη γεωμετρία, τη φυσική, την αστρονομία, τη μηχανική, τα οικονομικά και πολλές άλλες επιστήμες. Εάν νωρίτερα αυτές οι συναρτήσεις υπολογίζονταν χειροκίνητα ή χρησιμοποιώντας λογαριθμικούς πίνακες, και στο γύρισμα του 20ου-21ου αιώνα - με τη βοήθεια μηχανικών αριθμομηχανών, σήμερα χρησιμοποιείται η τεχνολογία των υπολογιστών για το σκοπό αυτό. Απλώς εκτελέστε την κατάλληλη ηλεκτρονική αριθμομηχανή και θα υπολογίσει τον λογάριθμο σε κλάσματα δευτερολέπτου!