Logarithmus-Rechner
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In der Mathematik und anderen exakten Wissenschaften werden häufig Logarithmen verwendet – Funktionen, die die Umkehrung der Potenzierung darstellen. Beispielsweise ist der Logarithmus von 10 von 1000 gleich 3, da 10 gewürfelt werden muss, um tausend zu erhalten, und der Logarithmus von 2 von 16 ist gleich 4, da 16 2 hoch vier ist.
Logarithmen vereinfachen komplexe mathematische Berechnungen erheblich, da sie verwendet werden können, um Potenzierung und Wurzelziehen als Multiplikation und Division mit dem Exponenten auszudrücken.
Neben Logarithmen werden in den exakten Wissenschaften auch deren Umkehrfunktionen verwendet – Antilogarithmen oder „inverse Logarithmen“. Der Antilogarithmus von x ist das Ergebnis einer Potenzierung oder eine Zahl, deren Logarithmus gleich x ist.
Logarithmen werden in Formeln als Log und Antilogarithmen als Ameisenlog bezeichnet. Diese Bezeichnungen finden sich nicht nur in logarithmischen Tabellen, sondern auch auf den Tastaturen technischer Taschenrechner. Heutzutage werden zur Berechnung dieser Funktionen jedoch häufiger spezielle Online-Rechner verwendet – viel bequemer und zugänglicher.
Die Geschichte der Logarithmen
Obwohl die logarithmische Funktion erst viel später erfunden wurde, wurden die Voraussetzungen für ihr Auftreten bis in die Antike zurückverfolgt. Beispielsweise stellte der antike griechische Wissenschaftler Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. einen Zusammenhang zwischen Arithmetik und geometrischer Progression her und untersuchte die Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten.
Aber Tabellen mit ganzzahligen Exponenten (für die Basen 2, 3 und 4), die im modernen Sinne als Logarithmen bezeichnet werden können, wurden erst im 8. Jahrhundert erstellt – vom indischen Wissenschaftler Virasena.
Mit der Entwicklung der Astronomie und Navigation entstand ein immer dringenderes Bedürfnis, komplexe mathematische Berechnungen zu vereinfachen: Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen, Wurzelziehen, Potenzieren.
1544 machte der deutsche Wissenschaftler Michael Stiefel einen entscheidenden Schritt in diese Richtung, indem er eine logarithmische Tabelle erstellte, die später nach ihm benannt wurde. Die Idee, arithmetische und geometrische Verläufe mithilfe von Tabellen zu vergleichen, wurde von Stiefel im Buch Arithmetica integra beschrieben und bildete die Grundlage für spätere Arbeiten von Nikolai Oresme und Nicola Chuquet.
Darüber hinaus studierte der schottische Mathematiker John Napier Logarithmen, der 1614 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio in lateinischer Sprache veröffentlichte. In dieser Arbeit wurden nicht nur die Eigenschaften der logarithmischen Funktion beschrieben, sondern auch achtstellige Logarithmentabellen von Sinus, Cosinus und Tangens. Einer Version zufolge war es Knepper, der den Namen „Logarithmus“ genehmigte, der seit dem 17. Jahrhundert der einzige und alternativlos ist.
Trotz seiner ernsthaften Beiträge zur Wissenschaft machte John Knepper bei der Erstellung logarithmischer Tabellen (für Zahlen nach der sechsten Ziffer) eine Reihe von Fehlern, die zwischen 1620 und 1624 umstritten waren.
Im Jahr 1624 veröffentlichte Johannes Kepler seine Version der logarithmischen Tabellen Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, und Edmund Wingate und William Oughtred erfanden den ersten Rechenschieber. Auch der britische Wissenschaftler Henry Briggs führte parallele Forschungen durch und erstellte 1617 14-stellige Tabellen mit Dezimallogarithmen.
Wie im Fall von Kneppers Werk wurden später auch in Briggs' Tabellen Fehler entdeckt. Ursprünglich beschrieb die Tabelle Dezimallogarithmen von 1 bis 1000 mit 8 Nachkommastellen, nach einer Neuberechnung erhöhte sich ihre Zahl jedoch auf 14 Nachkommastellen. Im Jahr 1783 veröffentlichte Georg Vega eine überarbeitete Fassung, auf deren Grundlage die Bremiker-Tabellen erstellt wurden – absolut genau und fehlerfrei.
Es waren die vorgefertigten Logarithmentabellen, die diese mathematische Funktion so weit verbreitet und gefragt machten. Denn statt aufwändiger Berechnungen reichte es nun aus, die gewünschte Spalte zu überprüfen und sofort das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Der französische Mathematiker Pierre-Simon Laplace sagte, dass die Erfindung des Logarithmus „durch die Verkürzung der Arbeit des Astronomen sein Leben verdoppelte“.
Im 19. Jahrhundert begann man, Logarithmen in komplexen Analysen zu verwenden. Insbesondere Carl Friedrich Gauß entwickelte 1811 eine Theorie der Mehrdeutigkeit der logarithmischen Funktion, definiert als Integral von 1/z. Und Georg Friedrich Bernhard Riemann entwickelte eine allgemeine Theorie der Riemannschen Flächen auf der Grundlage von Logarithmen.
Heutzutage werden Logarithmen in Algebra, Geometrie, Physik, Astronomie, Ingenieurwesen, Wirtschaftswissenschaften und vielen anderen Wissenschaften verwendet. Wurden diese Funktionen früher manuell oder anhand logarithmischer Tabellen und an der Wende vom 20. zum 21. Jahrhundert mit Hilfe technischer Taschenrechner berechnet, kommt heute zu diesem Zweck Computertechnik zum Einsatz. Führen Sie einfach den entsprechenden Online-Rechner aus und er berechnet den Logarithmus im Bruchteil einer Sekunde!