😍 Логаритмичен калкулатор

В математиката и други точни науки логаритмите се използват широко - функции, които са обратни на повдигането на степен. Например логаритъмът от 10 от 1000 е равен на 3, тъй като за да се получи хиляда, 10 трябва да се подложи на куб, а логаритъмът от 2 от 16 е равен на 4, тъй като 16 е 2 на четвърта степен.

Логаритмите значително опростяват сложните математически изчисления, тъй като могат да се използват за изразяване на степенуване и извличане на корен като умножение и деление с степенния показател.

В допълнение към логаритмите, техните обратни функции се използват и в точните науки - антилогаритми или „обратни логаритми“. Антилогаритъмът на x е резултат от потенциране или число, чийто логаритъм е равен на x.

Логаритмите се означават във формулите като log, а антилогаритмите се означават като ant log. Тези обозначения могат да бъдат намерени не само в логаритмичните таблици, но и на клавиатурите на инженерните калкулатори. Но днес за изчисляване на тези функции по-често се използват специални онлайн калкулатори - много по-удобни и достъпни.

Историята на логаритмите

Въпреки че логаритмичната функция е изобретена много по-късно, предпоставките за нейната поява са проследени до Античността. Например древногръцкият учен Архимед през 3-ти век пр. н. е. установява връзка между аритметичната и геометричната прогресия и изследва свойствата на степени с естествени показатели.

Но таблици с цели числа (за бази 2, 3 и 4), които могат да се нарекат логаритми в съвременния им смисъл, са получени едва през 8 век - от индийския учен Вирасена.

С развитието на астрономията и навигацията възникна все по-неотложна необходимост от опростяване на сложни математически изчисления: умножение и деление на многоцифрени числа, извличане на корени, повишаване на степени.

През 1544 г. немският учен Михаел Щийфел прави решителна стъпка в тази посока, като съставя логаритмична таблица, която по-късно е кръстена на него. Идеята за сравняване на аритметични и геометрични прогресии с помощта на таблици е описана от Stiefel в книгата Arithmetica integra и формира основата за последващи работи на Nicholas Oresme и Nicola Chuquet.

В допълнение към тях, шотландският математик Джон Напиер изучава логаритми, който публикува Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio на латински през 1614 г. Тази работа описва не само свойствата на логаритмичната функция, но и осемцифрени таблици с логаритми на синуси, косинуси и тангенси. Според една версия именно Кнепър е одобрил името „логаритъм“, което от 17-ти век става единственото и няма алтернатива.

Въпреки сериозния си принос към науката, Джон Непър прави редица грешки при съставянето на логаритмични таблици (за числа след шестата цифра) и те са оспорвани през 1620-1624 г.

През 1624 г. Йоханес Кеплер публикува своята версия на логаритмичните таблици Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, а Едмънд Уингейт и Уилям Оутред изобретяват първата логаритмична линейка. Британският учен Хенри Бригс също провежда паралелни изследвания и през 1617 г. съставя 14-цифрени таблици с десетични логаритми.

Както при работата на Knepper, таблиците на Briggs също впоследствие съдържат грешки. Първоначално таблицата описваше десетични логаритми от 1 до 1000 с 8 знака след десетичната запетая, но след преизчисляване броят им се увеличи до 14 знака след десетичната запетая. През 1783 г. Георг Вега публикува преработена версия и на нейна основа са съставени таблиците на Бремикер - абсолютно точни и без грешки.

Именно готовите таблици с логаритми направиха тази математическа функция толкова широко разпространена и търсена. В крайна сметка сега, вместо сложни изчисления, беше достатъчно да проверите необходимата колона и незабавно да получите желания резултат. Френският математик Пиер-Симон Лаплас каза, че изобретяването на логаритмите „като съкрати работата на астронома, удвои живота му“.

През 19 век логаритмите започват да се използват в комплексния анализ. По-специално, Карл Фридрих Гаус през 1811 г. развива теория за многозначността на логаритмичната функция, дефинирана като интеграл от 1/z. И Георг Фридрих Бернхард Риман изгради обща теория за римановите повърхности, базирана на логаритми.

Днес логаритмите се използват в алгебрата, геометрията, физиката, астрономията, инженерството, икономиката и много други науки. Ако по-рано тези функции се изчисляваха ръчно или с помощта на логаритмични таблици, а в началото на 20-21 век - с помощта на инженерни калкулатори, днес за тази цел се използват компютърни технологии. Просто стартирайте подходящия онлайн калкулатор и той ще изчисли логаритъма за част от секундата!

Днес логаритмичната функция се използва навсякъде, където има процеси, които се променят с времето. Биология, химия, физика, електротехника - всички тези науки използват логаритми. Но логаритъмът е най-разпространен в икономиката - като неразделна част от математическия анализ.

Определение

Съгласно математическата дефиниция, логаритъма на число x е степенна степен, към която трябва да се повдигне основата b, за да се получи x. С други думи, логаритмичната функция е обърната степен или обратна на степен.

Например, изразът 2^3 = 8 може да бъде представен като: log2(8) = 3. 2 е основата на степента, 3 е степента, 8 е резултатът от повдигане на степен. За по-голяма яснота можем да изброим други примери:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0,25) = −2.
log625(125) = 0,75.

По принцип изразът loga(b) се чете като „логаритъм от b по основа a“. Когато пишете логаритъм, е важно да не бъркате основата със степента. Така в израза log2(8) = 3, 2 е основата, а 3 е степента.

Разновидности на логаритми

Има три основни вида логаритми: естествени, десетични и двоични.

Естествено

Когато работите с ирационални числа (които не могат да бъдат записани като обикновена дроб с числител и знаменател), използвайте натурален логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер (e), равно на 2,71828. Стандартният израз на формата loge(x) в този случай се заменя с ln x. ln е натурален логаритъм, чието обозначение може да се намери на повечето инженерни калкулатори.

Защо трябва да комбинирате логаритъма с числото на Ойлер? Това е необходимо за извършване на експоненциални изчисления. Така цяла поредица от величини се променя във времето не пропорционално, а експоненциално - с променяща се скорост.

Използвайки степенния показател, можете да опишете процеса на размножаване на бактерии, растежа на снежни топки, увеличаване на биологичните популации, увеличаване на доходите и разпадане на радиоактивни вещества. Натуралният логаритъм ни позволява да опишем тези явления. Например растежът на кристалите може да се изрази по следния начин:

e^3 = 20,086.
e^5 = 148,413.
e^10 = 22026,466.

Тук e е постоянното число на Ойлер, а степента е броят години. Тоест след 3 години кристалът ще нарасне до 20,086 килограма, след 5 години - до 148,413 килограма и т.н. Подобни изчисления могат да бъдат извършени за всякакви други експоненциални величини.

Десетичен и двоичен

Тези разновидности бяха въведени в обращение, за да се опрости писането на формули и уравнения в десетични и двоични системи. Така десетичният логаритъм винаги има основа 10. Той се означава като log x и съответства на израза log10(x). От своя страна, двоичният логаритъм винаги има основа 2 и се означава като lb x. Може да се представи и като log2(x).

Свойства и формули за изчисление

Когато работите с логаритми, можете да използвате формули за опростяване и трансформация, които са валидни за всякакви стойности на променливите. Най-популярните формули включват следното:

loga(1) = 0 – логаритъма от единица винаги е нула.
loga(a) = 1 - ако числото и основата съвпадат, логаритъма винаги е равен на едно.
loga(a^n) = n е основната логаритмична идентичност.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) - логаритъмът от произведението на числата е равен на сумата от техните логаритми.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - логаритъмът на дроб е равен на разликата между логаритмите на числителя и знаменателя.
loga(b^n) = n × loga(b) – степента на основите и аргументите може да бъде разширена отвъд логаритмите.

Познавайки тези правила за трансформация, можете да опростите и намерите стойностите на логаритмите в конкретни задачи. Например, нека изчислим израза lg2 × lb10. След трансформацията получаваме: log10(2) × log2(10). След редукция до една база получаваме:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Разгледайте друг пример с добавяне на логаритми: log216(2) + log216(3). Използвайки формулите за трансформация, получаваме:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Накрая, простият израз log3(81) може да бъде записан като log3(9 × 9) и изчислен като log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. Тоест има голяма вероятност след редукциите в израза да не останат дори логаритмични функции и той да бъде представен като вече изчислено число.

Използвайки формули за преобразуване, можете да съкратите изразите и да ги намалите до по-проста форма на нотация и едва след това да извършите изчислението им. Ако междинните стойности на трансформациите не са важни за вас, а само крайният резултат, трябва да използвате нашия онлайн калкулатор. Просто трябва да въведете необходимите стойности в него и програмата ще изчисли десетичния, естествения или двоичния логаритъм за част от секундата!