😍 Loqarifm kalkulyatoru

Riyaziyyatda və digər dəqiq elmlərdə loqarifmlərdən geniş istifadə olunur - gücü artırmanın tərsi olan funksiyalar. Məsələn, 1000-dən 10-un loqarifmi 3-ə bərabərdir, çünki mini əldə etmək üçün 10-u kub etmək lazımdır, 16-nın dördüncü dərəcəsinin 2-si olduğu üçün 16-nın 2-nin loqarifmi 4-ə bərabərdir.

Loqarifmlər mürəkkəb riyazi hesablamaları xeyli sadələşdirir, çünki onlar eksponentasiya və kök çıxarılmasını eksponentə vurma və bölmə kimi ifadə etmək üçün istifadə edilə bilər.

Loqarifmlərlə yanaşı, onların tərs funksiyalarından da dəqiq elmlərdə istifadə olunur - antiloqarifmlər və ya “ters loqarifmlər”. X-in antiloqarifmi potensiasiyanın nəticəsidir və ya loqarifmi x-ə bərabər olan ədəddir.

Loqarifmlər düsturlarda log, antiloqarifmlər isə qarışqa jurnalı kimi qeyd olunur. Bu təyinatlara təkcə loqarifmik cədvəllərdə deyil, həm də mühəndislik kalkulyatorlarının klaviaturalarında rast gəlmək olar. Lakin bu gün bu funksiyaları hesablamaq üçün xüsusi onlayn kalkulyatorlardan daha tez-tez istifadə olunur - daha rahat və əlçatandır.

Loqarifmlərin tarixi

Loqarifmik funksiya çox sonralar icad edilsə də, onun yaranması üçün ilkin şərtlər Antik dövrə gedib çıxır. Məsələn, qədim yunan alimi Arximed eramızdan əvvəl 3-cü əsrdə arifmetik və həndəsi irəliləyiş arasında əlaqə qurmuş və təbii göstəricilərlə güclərin xassələrini tədqiq etmişdir.

Lakin müasir mənada loqarifm adlandırıla bilən tam ədəd göstəriciləri cədvəlləri (2, 3 və 4-cü əsaslar üçün) yalnız 8-ci əsrdə - hind alimi Virasena tərəfindən əldə edilmişdir.

Astronomiya və naviqasiya inkişaf etdikcə mürəkkəb riyazi hesablamaları sadələşdirmək üçün getdikcə daha təcili ehtiyac yarandı: çoxrəqəmli ədədləri vurmaq və bölmək, kökləri çıxarmaq, gücləri artırmaq.

1544-cü ildə alman alimi Mixael Ştifel sonradan onun adını daşıyan loqarifmik cədvəl tərtib edərək bu istiqamətdə qəti addım atdı. Cədvəllərdən istifadə edərək arifmetik və həndəsi irəliləyişlərin müqayisəsi ideyası Stiefel tərəfindən “Arithmetica integra” kitabında təsvir edilmiş və Nikolay Oresme və Nikolay Çuketin sonrakı əsərləri üçün əsas olmuşdur.

Onlara əlavə olaraq, 1614-cü ildə latın dilində Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio nəşr edən Şotland riyaziyyatçısı Con Napier loqarifmləri öyrəndi. Bu işdə təkcə loqarifmik funksiyanın xassələri deyil, həm də sinusların, kosinusların və tangenslərin loqarifmlərinin səkkiz rəqəmli cədvəlləri təsvir edilmişdir. Versiyalardan birinə görə, 17-ci əsrdən bəri yeganə olan və alternativi olmayan “loqarifm” adını təsdiq edən Knepper olmuşdur.

Elmə verdiyi ciddi töhfələrə baxmayaraq, Con Knepper loqarifmik cədvəlləri tərtib edərkən bir sıra səhvlərə yol verdi (altıncı rəqəmdən sonrakı rəqəmlər üçün) və onlar 1620-1624-cü illərdə mübahisələndirildi.

1624-cü ildə Johannes Kepler Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos loqarifmik cədvəllərinin öz versiyasını nəşr etdi və Edmund Uinqeyt və Uilyam Oughtred ilk sürüşmə qaydasını icad etdilər. İngilis alimi Henri Briqqs də paralel tədqiqatlar aparmış və 1617-ci ildə onluq loqarifmlərin 14 rəqəmli cədvəlini tərtib etmişdir.

Knepperin işində olduğu kimi, sonradan Briqqsin cədvəllərində də səhvlər aşkar edildi. Əvvəlcə cədvəldə 1-dən 1000-ə qədər 8 onluq yer ilə onluq loqarifmlər təsvir edildi, lakin yenidən hesablamadan sonra onların sayı 14 onluq yerlərinə qədər artdı. 1783-cü ildə Georg Vega yenidən işlənmiş versiyanı nəşr etdi və onun əsasında Bremiker cədvəlləri tərtib edildi - tamamilə dəqiq və səhvsiz.

Bu riyazi funksiyanı bu qədər geniş və tələbatlı edən loqarifmlərin hazır cədvəlləri idi. Axı, indi mürəkkəb hesablamalar yerinə, tələb olunan sütunu yoxlamaq və dərhal istədiyiniz nəticəni əldə etmək kifayət idi. Fransız riyaziyyatçısı Pierre-Simon Laplace dedi ki, loqarifmlərin ixtirası “astronomun işini qısaltmaqla onun ömrünü ikiqat artırdı”.

19-cu əsrdə loqarifmlər kompleks analizdə istifadə olunmağa başladı. Xüsusilə, Karl Fridrix Qauss 1811-ci ildə 1/z inteqralı kimi təyin olunan loqarifmik funksiyanın çoxqiymətliliyi nəzəriyyəsini işləyib hazırladı. Və Georg Friedrich Bernhard Riemann loqarifmlərə əsaslanan Riemann səthlərinin ümumi nəzəriyyəsini qurdu.

Bu gün loqarifmlər cəbr, həndəsə, fizika, astronomiya, mühəndislik, iqtisadiyyat və bir çox başqa elmlərdə istifadə olunur. Əgər əvvəllər bu funksiyalar əl ilə və ya loqarifmik cədvəllərdən istifadə edilməklə, 20-21-ci əsrlərin sonunda isə mühəndislik kalkulyatorlarının köməyi ilə hesablanırdısa, bu gün bu məqsədlə kompüter texnologiyasından istifadə olunur. Sadəcə uyğun onlayn kalkulyatoru işə salın və o, loqarifmanı bir saniyəyə hesablayacaq!

Loqarifm (qaydalar, düsturlar, nümunələr)

Bu gün loqarifmik funksiya zamanla dəyişən proseslərin olduğu yerdə istifadə olunur. Biologiya, kimya, fizika, elektrotexnika - bütün bu elmlər loqarifmlərdən istifadə edir. Lakin loqarifm iqtisadiyyatda ən çox yayılmışdır - riyazi analizin tərkib hissəsi kimi.

Tərif

Riyazi tərifə görə, x ədədinin loqarifmi, x əldə etmək üçün b əsasının qaldırılmalı olduğu göstəricidir. Başqa sözlə, loqarifmik funksiya ters çevrilmiş qüvvə və ya gücün tərsidir.

Məsələn, 2^3 = 8 ifadəsi aşağıdakı kimi göstərilə bilər: log2(8) = 3. 2 gücün əsası, 3 göstərici, 8 gücün yüksəldilməsinin nəticəsidir. Aydınlıq üçün digər nümunələri sadalaya bilərik:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0.25) = −2.
log625(125) = 0,75.

Ümumiyyətlə, loqa(b) ifadəsi “a əsasına b-nin loqarifmi” kimi oxunur. Loqarifmi yazarkən əsası güclə qarışdırmamaq vacibdir. Beləliklə, log2(8) = 3 ifadəsində 2 əsas, 3 isə gücdür.

Loqarifmlərin növləri

Loqarifmin üç əsas növü var: natural, onluq və ikilik.

Təbii

İrrasional ədədlərlə işləyərkən (numerator və məxrəclə adi kəsr kimi yazıla bilməz) əsası 2,71828-ə bərabər olan Eyler ədədi (e) olan natural loqarifmadan istifadə edin. Bu halda loge(x) formasının standart ifadəsi ln x ilə əvəz olunur. ln təbii loqarifmdir, onun təyinatını əksər mühəndislik kalkulyatorlarında tapmaq olar.

Niyə loqarifmanı Eyler nömrəsi ilə birləşdirməlisiniz? Bu eksponensial hesablamalar aparmaq üçün lazımdır. Beləliklə, bütün kəmiyyətlər silsiləsi zamanla mütənasib olaraq deyil, eksponensial şəkildə - dəyişən sürətlə dəyişir.

Eksponentdən istifadə edərək, siz bakteriyaların çoxalması prosesini, qartoplarının böyüməsini, bioloji populyasiyaların artımını, gəlirlərin artımını və radioaktiv maddələrin parçalanmasını təsvir edə bilərsiniz. Təbii loqarifm bu hadisələri təsvir etməyə imkan verir. Məsələn, kristal artımı bu şəkildə ifadə edilə bilər:

e^3 = 20,086.
e^5 = 148.413.
e^10 = 22026.466.

Burada e Eylerin sabit ədədidir, dərəcə isə illərin sayıdır. Yəni 3 ildən sonra kristal 20,086 kiloqrama, 5 ildən sonra 148,413 kiloqrama qədər artacaq və s. Oxşar hesablamalar istənilən digər eksponensial kəmiyyətlər üçün də aparıla bilər.

Ondalıq və ikilik

Bu növlər onluq və ikilik sistemlərdə düstur və tənliklərin yazılmasını sadələşdirmək üçün dövriyyəyə daxil edilmişdir. Beləliklə, onluq loqarifm həmişə 10 bazasına malikdir. O, log x kimi işarələnir və log10(x) ifadəsinə uyğun gəlir. Öz növbəsində, ikili loqarifmin həmişə 2 əsası var və lb x kimi işarələnir. O, həmçinin log2(x) kimi də göstərilə bilər.

Xassələr və hesablama düsturları

Loqarifmlərlə işləyərkən dəyişənlərin istənilən dəyəri üçün etibarlı olan sadələşdirmə və çevirmə düsturlarından istifadə edə bilərsiniz. Ən məşhur düsturlara aşağıdakılar daxildir:

loga(1) = 0 - birinin loqarifmi həmişə sıfırdır.
loga(a) = 1 - ədəd və əsas üst-üstə düşürsə, loqarifm həmişə birə bərabərdir.
loga(a^n) = n əsas loqarifmik eynilikdir.
loqa(bc) = loqa(b) + loqa(c) - ədədlərin hasilinin loqarifmi onların loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.
loqa(b/c) = loqa(b) − loqa(c) - kəsrin loqarifmi payın və məxrəcin loqarifmləri arasındakı fərqə bərabərdir.
loga(b^n) = n × loqa(b) - əsasların və arqumentlərin dərəcəsi loqarifmlərdən kənara çıxa bilər.

Bu çevrilmə qaydalarını bilməklə siz konkret məsələlərdə loqarifmlərin dəyərlərini sadələşdirə və tapa bilərsiniz. Məsələn, lg2 × lb10 ifadəsini hesablayaq. Transformasiyadan sonra əldə edirik: log10(2) × log2(10). Tək bazaya endirdikdən sonra əldə edirik:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Loqarifmlərin əlavə olunduğu başqa bir nümunəyə nəzər salın: log216(2) + log216(3). Çevrilmə düsturlarından istifadə edərək, əldə edirik:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

Nəhayət, sadə ifadə log3(81) log3(9 × 9) kimi yazıla və log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × kimi hesablana bilər. 1 = 4. Yəni kiçilmələrdən sonra ifadədə heç bir loqarifmik funksiyanın belə qalmaması və onun artıq hesablanmış ədəd kimi təqdim olunması ehtimalı yüksəkdir.

Dönüştürmə düsturlarından istifadə edərək, siz ifadələri qısalda və daha sadə qeyd formasına endirə bilərsiniz və yalnız bundan sonra onların hesablanmasını həyata keçirə bilərsiniz. Dönüşümlərin aralıq dəyərləri sizin üçün vacib deyil, yalnız son nəticədirsə, onlayn kalkulyatorumuzdan istifadə etməlisiniz. Siz sadəcə ona lazımi dəyərləri daxil etməlisiniz və proqram saniyənin bir hissəsində onluq, təbii və ya ikili loqarifmi hesablayacaq!