😍 Calculator de logaritmi

În matematică și alte științe exacte, logaritmii sunt folosiți pe scară largă - funcții care sunt inversul ridicării la o putere. De exemplu, logaritmul lui 10 din 1000 este egal cu 3, deoarece pentru a obține o mie, 10 trebuie să fie cubit, iar logaritmul lui 2 din 16 este egal cu 4, deoarece 16 este 2 la a patra putere.

Logaritmii simplifică foarte mult calculele matematice complexe, deoarece pot fi folosiți pentru a exprima exponențiarea și extragerea rădăcinilor ca înmulțire și împărțire cu exponent.

Pe lângă logaritmi, funcțiile lor inverse sunt folosite și în științele exacte - antilogaritmi sau „logaritmi inversi”. Antilogaritmul lui x este rezultatul potențarii sau un număr al cărui logaritm este egal cu x.

Logaritmii sunt notați în formule ca log, iar antilogaritmii sunt notați ca log de furnici. Aceste denumiri pot fi găsite nu numai în tabelele logaritmice, ci și pe tastaturile calculatoarelor de inginerie. Dar astăzi, pentru a calcula aceste funcții, se folosesc mai des calculatoare online speciale - mult mai convenabile și accesibile.

Istoria logaritmilor

Deși funcția logaritmică a fost inventată mult mai târziu, condițiile prealabile pentru apariția ei au fost urmărite încă din Antichitate. De exemplu, omul de știință grec antic Arhimede în secolul al III-lea î.Hr. a stabilit o legătură între progresia aritmetică și geometrică și a investigat proprietățile puterilor cu exponenți naturali.

Dar tabelele de exponenți întregi (pentru bazele 2, 3 și 4), care pot fi numite logaritmi în sensul lor modern, au fost obținute abia în secolul al VIII-lea - de către omul de știință indian Virasena.

Pe măsură ce astronomia și navigația s-au dezvoltat, a apărut o nevoie din ce în ce mai urgentă de a simplifica calculele matematice complexe: înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre, extragerea rădăcinilor, ridicarea la puteri.

În 1544, omul de știință german Michael Stiefel a făcut un pas decisiv în această direcție, alcătuind un tabel logaritmic care ulterior a fost numit după el. Ideea de a compara progresiile aritmetice și geometrice folosind tabele a fost descrisă de Stiefel în cartea Arithmetica integra și a stat la baza lucrărilor ulterioare ale lui Nikolai Oresme și Nicola Chuquet.

Pe lângă ei, matematicianul scoțian John Napier a studiat logaritmii, care a publicat Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio în latină în 1614. Această lucrare a descris nu numai proprietățile funcției logaritmice, ci și tabele de opt cifre ale logaritmilor sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor. Potrivit unei versiuni, Knepper a fost cel care a aprobat numele „logaritm”, care din secolul al XVII-lea a devenit singurul și nu are nicio alternativă.

În ciuda contribuțiilor sale serioase la știință, John Knepper a făcut o serie de erori la compilarea tabelelor logaritmice (pentru numerele după a șasea cifră) și au fost contestate în 1620-1624.

În 1624, Johannes Kepler a publicat versiunea sa a tabelelor logaritmice Chilias logarithmorum ad totidem numeros rotundos, iar Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul. Omul de știință britanic Henry Briggs a efectuat și el cercetări paralele, iar în 1617 a alcătuit tabele cu 14 cifre ale logaritmilor zecimal.

Ca și în cazul lucrării lui Knepper, erori au fost descoperite ulterior și în tabelele lui Briggs. Inițial, tabelul descria logaritmi zecimali de la 1 la 1000 cu 8 zecimale, dar după recalculare numărul acestora a crescut la 14 zecimale. În 1783, Georg Vega a publicat o versiune revizuită, iar pe baza acesteia au fost compilate tabelele Bremiker - absolut exacte și fără erori.

Tabelele gata făcute de logaritmi au făcut ca această funcție matematică să fie atât de răspândită și solicitată. La urma urmei, acum, în loc de calcule complexe, a fost suficient să verifici coloana necesară și să obții instantaneu rezultatul dorit. Matematicianul francez Pierre-Simon Laplace a spus că inventarea logaritmilor „prin scurtarea muncii astronomului, i-a dublat viața.”

În secolul al XIX-lea, logaritmii au început să fie utilizați în analiza complexă. În special, Carl Friedrich Gauss în 1811 a dezvoltat o teorie a multivalorității funcției logaritmice, definită ca integrala lui 1/z. Și Georg Friedrich Bernhard Riemann a construit o teorie generală a suprafețelor Riemann bazată pe logaritmi.

Astăzi, logaritmii sunt folosiți în algebră, geometrie, fizică, astronomie, inginerie, economie și multe alte științe. Dacă mai devreme aceste funcții erau calculate manual sau folosind tabele logaritmice, iar la începutul secolelor 20-21 - cu ajutorul calculatoarelor de inginerie, astăzi tehnologia computerizată este folosită în acest scop. Pur și simplu rulați calculatorul online corespunzător și acesta va calcula logaritmul într-o fracțiune de secundă!

Astăzi, funcția logaritmică este utilizată oriunde există procese care se modifică în timp. Biologie, chimie, fizică, inginerie electrică - toate aceste științe folosesc logaritmi. Dar logaritmul este cel mai răspândit în economie - ca parte integrantă a analizei matematice.

Definiție

Conform definiției matematice, logaritmul unui număr x este un exponent la care trebuie ridicată baza b pentru a obține x. Cu alte cuvinte, o funcție logaritmică este o putere inversată sau inversul unei puteri.

De exemplu, expresia 2^3 = 8 poate fi reprezentată ca: log2(8) = 3. 2 este baza puterii, 3 este exponentul, 8 este rezultatul ridicării la putere. Pentru claritate, putem enumera alte exemple:

log3(9) = 2.
log7(343) = 3.
log2(0,25) = −2.
log625(125) = 0,75.

În general, expresia loga(b) este citită ca „logaritmul lui b la baza a”. Când scrieți un logaritm, este important să nu confundați baza cu puterea. Astfel, în expresia log2(8) = 3, 2 este baza și 3 este puterea.

Soiuri de logaritmi

Există trei tipuri principale de logaritmi: naturali, zecimal și binari.

Naturală

Când lucrați cu numere iraționale (care nu pot fi scrise ca o fracție comună cu numărător și numitor), utilizați logaritmul natural, a cărui bază este numărul Euler (e) egal cu 2,71828. Expresia standard a formei loge(x) în acest caz este înlocuită cu ln x. Ln este logaritmul natural, a cărui desemnare poate fi găsită pe majoritatea calculatoarelor de inginerie.

De ce trebuie să combinați logaritmul cu numărul Euler? Acest lucru este necesar pentru a efectua calcule exponențiale. Astfel, o serie întreagă de mărimi se modifică în timp nu proporțional, ci exponențial - cu o viteză în schimbare.

Folosind exponentul, puteți descrie procesul de reproducere bacteriană, creșterea bulgărilor de zăpadă, creșterea populațiilor biologice, creșterea veniturilor și degradarea substanțelor radioactive. Logaritmul natural ne permite să descriem aceste fenomene. De exemplu, creșterea cristalelor poate fi exprimată astfel:

e^3 = 20,086.
e^5 = 148,413.
e^10 = 22026,466.

Aici e este numărul constant al lui Euler, iar gradul este numărul de ani. Adică, în 3 ani, cristalul va crește la 20,086 kilograme, în 5 ani - la 148,413 kilograme și așa mai departe. Calcule similare pot fi efectuate pentru orice alte mărimi exponențiale.

Decimal și binar

Aceste varietăți au fost introduse în circulație pentru a simplifica scrierea formulelor și ecuațiilor în sisteme zecimal și binar. Astfel, logaritmul zecimal are întotdeauna baza 10. Se notează log x și corespunde expresiei log10(x). La rândul său, logaritmul binar are întotdeauna o bază de 2 și este notat cu lb x. Poate fi reprezentat și ca log2(x).

Proprietăți și formule de calcul

Când lucrați cu logaritmi, puteți utiliza formule de simplificare și transformare care sunt valabile pentru orice valoare a variabilelor. Cele mai populare formule includ următoarele:

loga(1) = 0 - logaritmul lui unu este întotdeauna zero.
loga(a) = 1 - dacă numărul și baza coincid, logaritmul este întotdeauna egal cu unu.
loga(a^n) = n este identitatea logaritmică de bază.
loga(bc) = loga(b) + loga(c) - logaritmul produsului numerelor este egal cu suma logaritmilor lor.
loga(b/c) = loga(b) − loga(c) - logaritmul unei fracții este egal cu diferența dintre logaritmii numărătorului și numitorului.
loga(b^n) = n × loga(b) - gradul de baze și argumente poate fi extins dincolo de logaritmi.

Cunoscând aceste reguli de transformare, puteți simplifica și găsi valorile logaritmilor în probleme specifice. De exemplu, să calculăm expresia lg2 × lb10. După transformare obținem: log10(2) × log2(10). După reducerea la o singură bază obținem:

1/log2(10) × log2(10) = log2(10)/log2(10) = 1.

Luați în considerare un alt exemplu cu adăugarea de logaritmi: log216(2) + log216(3). Folosind formulele de transformare, obținem:

log216(2) + log216(3) = log216(2 × 3) = log216(6) = log6^3(6) = (1/3) × log6(6) = (1/3) × 1 = 1/3.

În sfârșit, expresia simplă log3(81) poate fi scrisă ca log3(9 × 9) și calculată ca log3(3^2+2) = log3(3^4) = 4 × log3(3) = 4 × 1 = 4. Adică, există o probabilitate mare ca după reduceri să nu mai rămână nici măcar funcții logaritmice în expresie și va fi prezentat ca un număr care a fost deja calculat.

Folosind formule de conversie, puteți scurta expresiile și le puteți reduce la o formă mai simplă de notație și abia apoi le puteți calcula. Dacă valorile intermediare ale transformărilor nu sunt importante pentru tine, ci doar rezultatul final, ar trebui să folosești calculatorul nostru online. Trebuie doar să introduceți valorile necesare în el, iar programul va calcula logaritmul zecimal, natural sau binar într-o fracțiune de secundă!